कैलकुलस उदाहरण

योग नियम के अनुसार, ${\displaystyle x}$ के संबंध में ${\displaystyle x-\frac{1}{x}+\frac{2}{x^3}}$ का व्युत्पन्न ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x\right]+\frac{d}{dx}[-\frac{1}{x}]+\frac{d}{dx}\left[\frac{2}{x^3}\right]}$ है.

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ है, जहाँ ${\displaystyle n=1}$ है.

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)g\left(x\right)\right]}$ ${\displaystyle f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]+g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]}$ है, जहाँ ${\displaystyle f\left(x\right)=-1}$ और ${\displaystyle g\left(x\right)=\frac{1}{x}}$ है.

${\displaystyle \frac{1}{x}}$ को ${\displaystyle x^{-1}}$ के रूप में फिर से लिखें.

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ है, जहाँ ${\displaystyle n=-1}$ है.

चूंकि ${\displaystyle x}$ के संबंध में ${\displaystyle -1}$ स्थिर है, ${\displaystyle x}$ के संबंध में ${\displaystyle -1}$ का व्युत्पन्न ${\displaystyle 0}$ है.

${\displaystyle -1}$ को ${\displaystyle -1}$ से गुणा करें.

${\displaystyle x^{-2}}$ को ${\displaystyle 1}$ से गुणा करें.

${\displaystyle \frac{1}{x}}$ को ${\displaystyle 0}$ से गुणा करें.

${\displaystyle x^{-2}}$ और ${\displaystyle 0}$ जोड़ें.

चूंकि ${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle x}$ के संबंध में स्थिर है, ${\displaystyle x}$ के संबंध में ${\displaystyle \frac{2}{x^3}}$ का व्युत्पन्न ${\displaystyle 2\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{x^3}\right]}$ है.

${\displaystyle \frac{1}{x^3}}$ को ${\displaystyle {\left(x^3\right)}^{-1}}$ के रूप में फिर से लिखें.

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$ है, जहाँ ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{-1}}$ और ${\displaystyle g\left(x\right)=x^3}$ है.

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ है, जहाँ ${\displaystyle n=3}$ है.

घातांक को ${\displaystyle {\left(x^3\right)}^{-2}}$ में गुणा करें.

${\displaystyle 3}$ को ${\displaystyle -1}$ से गुणा करें.

घातांक जोड़कर ${\displaystyle x^{-6}}$ को ${\displaystyle x^2}$ से गुणा करें.

${\displaystyle -3}$ को ${\displaystyle 2}$ से गुणा करें.

पदों को मिलाएं.

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

${\displaystyle \frac{1}{x^2}}$ को ${\displaystyle {\left(x^2\right)}^{-1}}$ के रूप में फिर से लिखें.

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$ है, जहाँ ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{-1}}$ और ${\displaystyle g\left(x\right)=x^2}$ है.

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ है, जहाँ ${\displaystyle n=2}$ है.

घातांक को ${\displaystyle {\left(x^2\right)}^{-2}}$ में गुणा करें.

${\displaystyle 2}$ को ${\displaystyle -1}$ से गुणा करें.

${\displaystyle x}$ को ${\displaystyle 1}$ के घात तक बढ़ाएं.

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम ${\displaystyle a^m{a}^n=a^{m+n}}$ का उपयोग करें.

${\displaystyle 1}$ में से ${\displaystyle 4}$ घटाएं.

चूंकि ${\displaystyle -6}$, ${\displaystyle x}$ के संबंध में स्थिर है, ${\displaystyle x}$ के संबंध में ${\displaystyle -\frac{6}{x^4}}$ का व्युत्पन्न ${\displaystyle -6\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{x^4}\right]}$ है.

${\displaystyle \frac{1}{x^4}}$ को ${\displaystyle {\left(x^4\right)}^{-1}}$ के रूप में फिर से लिखें.

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$ है, जहाँ ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{-1}}$ और ${\displaystyle g\left(x\right)=x^4}$ है.

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ है, जहाँ ${\displaystyle n=4}$ है.

घातांक को ${\displaystyle {\left(x^4\right)}^{-2}}$ में गुणा करें.

${\displaystyle 4}$ को ${\displaystyle -1}$ से गुणा करें.

घातांक जोड़कर ${\displaystyle x^{-8}}$ को ${\displaystyle x^3}$ से गुणा करें.

${\displaystyle -4}$ को ${\displaystyle -6}$ से गुणा करें.

ऋणात्मक घातांक नियम ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

ऋणात्मक घातांक नियम ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

पदों को मिलाएं.

अवकलन करें.

${\displaystyle \frac{d}{dx}[-\frac{1}{x}]}$ का मान ज्ञात करें.

${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\frac{2}{x^3}\right]}$ का मान ज्ञात करें.

ऋणात्मक घातांक नियम ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

ऋणात्मक घातांक नियम ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

सरल करें.

मान की एक सूची के LCD को पता करना उन मान के भाजक के LCM को पता करने के समान है.

Since ${\displaystyle x^2,x^4,1,1}$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part ${\displaystyle 1,1,1,1}$ then find LCM for the variable part ${\displaystyle x^2,x^4}$.

LCM (लघुत्तम समापवर्तक) सबसे छोटी धनात्मक संख्या है जिसे सभी संख्याएँ समान रूप से विभाजित करती हैं.