कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x + \sqrt{1 - x}$

चरण 1

अवकलन करें.

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चरण 1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + \sqrt{1 - x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$

चरण 1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$

चरण 2

$\frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$ का मान ज्ञात करें.

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चरण 2.1

$\sqrt{1 - x}$ को ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$1 + \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = 1 - x$ है.

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चरण 2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $1 - x$ के रूप में सेट करें.

$1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x]$

चरण 2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$1 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

चरण 2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $1 - x$ से बदलें.

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

चरण 2.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 - x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ है.

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

चरण 2.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

चरण 2.5

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.6

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1)$

चरण 2.7

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

चरण 2.8

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

चरण 2.9

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

चरण 2.10

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.10.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

चरण 2.10.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

चरण 2.11

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

चरण 2.12

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1)$

चरण 2.13

$0$ में से $1$ घटाएं.

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1$

चरण 2.14

$\frac{1}{2}$ और ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$1 + \frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1$

चरण 2.15

$\frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$1 + \frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2}$

चरण 2.16

$- 1$ को ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$1 + \frac{- 1 \cdot {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

चरण 2.17

$- 1 {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ को $- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$1 + \frac{- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

चरण 2.18

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$1 + \frac{- 1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.19

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$1 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$