कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \ln (x + \sqrt{x^{2} - 1})$

चरण 1

$\sqrt{x^{2} - 1}$ को ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [\ln (x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\ln (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{1}}$ है.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ से बदलें.

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$ है.

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}])$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}])$

चरण 4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = x^{2} - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $x^{2} - 1$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

चरण 4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

चरण 4.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $x^{2} - 1$ से बदलें.

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

चरण 5

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

चरण 6

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

चरण 7

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

चरण 8

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

चरण 8.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

चरण 9

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

चरण 9.2

$\frac{1}{2}$ और ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

चरण 9.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

चरण 10

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

चरण 11

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]))$

चरण 12

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0))$

चरण 13

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x))$

चरण 13.2

$2$ और $\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{2}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} x)$

चरण 13.3

$\frac{2}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{2 x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

चरण 13.4

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{2 x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

चरण 13.5

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

चरण 14

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$(1 + \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 14.2

$1 + \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ को $\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{1 + \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 14.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.3.1

$\frac{1 + \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ को $\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1 + \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 14.3.2

जोड़ना.

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

चरण 14.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 14.5

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

चरण 14.5.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 14.6

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 14.7

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ में से ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.7.1

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ और $x$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + x}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 14.7.2

$x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ में से ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 14.7.3

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ में से ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

चरण 14.7.4

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})$ में से ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

चरण 14.8

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

चरण 14.9

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

चरण 14.10

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$