कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \ln (x^{5} - e^{2 x})$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = x^{5} - e^{2 x}$ है.

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चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $x^{5} - e^{2 x}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{5} - e^{2 x}]$

चरण 1.2

$u_{1}$ के संबंध में $\ln (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{1}}$ है.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{5} - e^{2 x}]$

चरण 1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $x^{5} - e^{2 x}$ से बदलें.

$\frac{1}{x^{5} - e^{2 x}} \frac{d}{d x} [x^{5} - e^{2 x}]$

चरण 2

अवकलन करें.

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चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{5} - e^{2 x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ है.

$\frac{1}{x^{5} - e^{2 x}} (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}])$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 5$ है.

$\frac{1}{x^{5} - e^{2 x}} (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}])$

चरण 2.3

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- e^{2 x}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ है.

$\frac{1}{x^{5} - e^{2 x}} (5 x^{4} - \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = 2 x$ है.

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चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{x^{5} - e^{2 x}} (5 x^{4} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x]))$

चरण 3.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ $a^{u_{2}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{1}{x^{5} - e^{2 x}} (5 x^{4} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x]))$

चरण 3.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$\frac{1}{x^{5} - e^{2 x}} (5 x^{4} - (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]))$

चरण 4

अवकलन करें.

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चरण 4.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{x^{5} - e^{2 x}} (5 x^{4} - e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 4.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{x^{5} - e^{2 x}} (5 x^{4} - 2 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{x^{5} - e^{2 x}} (5 x^{4} - 2 e^{2 x} \cdot 1)$

चरण 4.4

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{x^{5} - e^{2 x}} (5 x^{4} - 2 e^{2 x})$

चरण 5

सरल करें.

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चरण 5.1

$\frac{1}{x^{5} - e^{2 x}} (5 x^{4} - 2 e^{2 x})$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$(5 x^{4} - 2 e^{2 x}) \frac{1}{x^{5} - e^{2 x}}$

चरण 5.2

$5 x^{4} - 2 e^{2 x}$ को $\frac{1}{x^{5} - e^{2 x}}$ से गुणा करें.

$\frac{5 x^{4} - 2 e^{2 x}}{x^{5} - e^{2 x}}$