कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \sin (\arccos (x))$

चरण 1

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 1.1

समतल में एक त्रिभुज बनाएंं जिसमें शीर्ष $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ , $(x, 0)$ और मूल बिंदु हों. फिर $\arccos (x)$ धनात्मक x-अक्ष और किरण के बीच का कोण है जो मूल बिंदु से शुरू होकर $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ से होकर गुजरती है. इसलिए, $\sin (\arccos (x))$ $\sqrt{1 - x^{2}}$ है.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x^{2}}]$

चरण 1.2

$\sqrt{1 - x^{2}}$ को ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = 1 - x^{2}$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $1 - x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

चरण 2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $1 - x^{2}$ से बदलें.

$\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

चरण 3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

चरण 4

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

चरण 5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

चरण 6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

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चरण 6.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

चरण 6.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

चरण 7

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

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चरण 7.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

चरण 7.2

$\frac{1}{2}$ और ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

चरण 7.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

चरण 8

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 - x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ है.

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

चरण 9

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

चरण 10

$0$ और $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ जोड़ें.

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 11

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 12

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

चरण 13

पदों को सरल करें.

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चरण 13.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

चरण 13.2

$- 2$ और $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$\frac{- 2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

चरण 13.3

$\frac{- 2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 13.4

$- 2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 14

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

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चरण 14.1

$2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- x)}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

चरण 14.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 14.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 15

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$