कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \cos (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = \frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}]$

चरण 1.2

$u_{1}$ के संबंध में $\cos (u_{1})$ का व्युत्पन्न $- \sin (u_{1})$ है.

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}]$

चरण 1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$ से बदलें.

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{d}{d x} [\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}]$

चरण 2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = 1 - e^{2 x}$ और $g (x) = 1 + e^{2 x}$ है.

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 - e^{2 x}] - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

चरण 3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 - e^{2 x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ है.

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]) - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

चरण 3.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (0 + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]) - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

चरण 3.3

$0$ और $\frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ जोड़ें.

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) \frac{d}{d x} [- e^{2 x}] - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

चरण 3.4

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- e^{2 x}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ है.

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- \frac{d}{d x} [e^{2 x}]) - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

चरण 4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])) - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

चरण 4.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ $a^{u_{2}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])) - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

चरण 4.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])) - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

चरण 5

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

चरण 5.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

चरण 5.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x} \cdot 1) - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

चरण 5.4

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

चरण 5.5

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + e^{2 x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ है.

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - (1 - e^{2 x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

चरण 5.6

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - (1 - e^{2 x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

चरण 5.7

$0$ और $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ जोड़ें.

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

चरण 6

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{3}$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - (1 - e^{2 x}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

चरण 6.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ $a^{u_{3}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - (1 - e^{2 x}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

चरण 6.3

$u_{3}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - (1 - e^{2 x}) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

चरण 7

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - (1 - e^{2 x}) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

चरण 7.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - 2 (1 - e^{2 x}) (e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x]))}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

चरण 7.3

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - 2 (1 - e^{2 x}) (e^{2 x} \cdot 1)}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

चरण 7.4

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.1

$e^{2 x}$ को $1$ से गुणा करें.

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - 2 (1 - e^{2 x}) e^{2 x}}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

चरण 7.4.2

$\frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - 2 (1 - e^{2 x}) e^{2 x}}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$ और $\sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})$ को मिलाएं.

$- \frac{((1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - 2 (1 - e^{2 x}) e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- \frac{(1 (- 2 e^{2 x}) + e^{2 x} (- 2 e^{2 x}) - 2 (1 - e^{2 x}) e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

चरण 8.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- \frac{(1 (- 2 e^{2 x}) + e^{2 x} (- 2 e^{2 x}) + (- 2 \cdot 1 - 2 (- e^{2 x})) e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

चरण 8.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- \frac{(1 (- 2 e^{2 x}) + e^{2 x} (- 2 e^{2 x}) - 2 \cdot 1 e^{2 x} - 2 (- e^{2 x}) e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

चरण 8.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.1.1

$- 2 e^{2 x}$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{(- 2 e^{2 x} + e^{2 x} (- 2 e^{2 x}) - 2 \cdot 1 e^{2 x} - 2 (- e^{2 x}) e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

चरण 8.4.1.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$- \frac{(- 2 e^{2 x} - 2 e^{2 x} e^{2 x} - 2 \cdot 1 e^{2 x} - 2 (- e^{2 x}) e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

चरण 8.4.1.3

घातांक जोड़कर $e^{2 x}$ को $e^{2 x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.1.3.1

$e^{2 x}$ ले जाएं.

$- \frac{(- 2 e^{2 x} - 2 (e^{2 x} e^{2 x}) - 2 \cdot 1 e^{2 x} - 2 (- e^{2 x}) e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

चरण 8.4.1.3.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \frac{(- 2 e^{2 x} - 2 e^{2 x + 2 x} - 2 \cdot 1 e^{2 x} - 2 (- e^{2 x}) e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

चरण 8.4.1.3.3

$2 x$ और $2 x$ जोड़ें.

$- \frac{(- 2 e^{2 x} - 2 e^{4 x} - 2 \cdot 1 e^{2 x} - 2 (- e^{2 x}) e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

चरण 8.4.1.4

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{(- 2 e^{2 x} - 2 e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 2 (- e^{2 x}) e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

चरण 8.4.1.5

घातांक जोड़कर $e^{2 x}$ को $e^{2 x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.1.5.1

$e^{2 x}$ ले जाएं.

$- \frac{(- 2 e^{2 x} - 2 e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 2 (- (e^{2 x} e^{2 x}))) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

चरण 8.4.1.5.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \frac{(- 2 e^{2 x} - 2 e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 2 (- e^{2 x + 2 x})) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

चरण 8.4.1.5.3

$2 x$ और $2 x$ जोड़ें.

$- \frac{(- 2 e^{2 x} - 2 e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 2 (- e^{4 x})) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

चरण 8.4.1.6

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$- \frac{(- 2 e^{2 x} - 2 e^{4 x} - 2 e^{2 x} + 2 e^{4 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

चरण 8.4.2

$- 2 e^{2 x} - 2 e^{4 x} - 2 e^{2 x} + 2 e^{4 x}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.2.1

$- 2 e^{4 x}$ और $2 e^{4 x}$ जोड़ें.

$- \frac{(- 2 e^{2 x} + 0 - 2 e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

चरण 8.4.2.2

$- 2 e^{2 x}$ और $0$ जोड़ें.

$- \frac{(- 2 e^{2 x} - 2 e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

चरण 8.4.3

$- 2 e^{2 x}$ में से $2 e^{2 x}$ घटाएं.

$- \frac{- 4 e^{2 x} \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

चरण 8.4.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.4.1

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{- 4 e^{2 x} \sin (\frac{1^{2} - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

चरण 8.4.4.2

$e^{2 x}$ को ${(e^{x})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{- 4 e^{2 x} \sin (\frac{1^{2} - {(e^{x})}^{2}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

चरण 8.4.4.3

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = 1$ और $b = e^{x}$ .

$- \frac{- 4 e^{2 x} \sin (\frac{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

चरण 8.5

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.5.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- - \frac{4 e^{2 x} \sin (\frac{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

चरण 8.5.2

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 \frac{4 e^{2 x} \sin (\frac{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

चरण 8.5.3

$\frac{4 e^{2 x} \sin (\frac{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{4 e^{2 x} \sin (\frac{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$