कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \ln (3 x^{2} - 2 x + 1)$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = 3 x^{2} - 2 x + 1$ है.

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चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $3 x^{2} - 2 x + 1$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 1]$

चरण 1.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 1]$

चरण 1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $3 x^{2} - 2 x + 1$ से बदलें.

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 1]$

चरण 2

अवकलन करें.

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चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x^{2} - 2 x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 2.2

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x^{2}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 2.4

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (6 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 2.5

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 x$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (6 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 2.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (6 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 2.7

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (6 x - 2 + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 2.8

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (6 x - 2 + 0)$

चरण 2.9

$6 x - 2$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (6 x - 2)$

चरण 3

सरल करें.

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चरण 3.1

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (6 x - 2)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$(6 x - 2) \frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1}$

चरण 3.2

$6 x - 2$ को $\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1}$ से गुणा करें.

$\frac{6 x - 2}{3 x^{2} - 2 x + 1}$

चरण 3.3

$6 x - 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

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चरण 3.3.1

$6 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (3 x) - 2}{3 x^{2} - 2 x + 1}$

चरण 3.3.2

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (3 x) + 2 (- 1)}{3 x^{2} - 2 x + 1}$

चरण 3.3.3

$2 (3 x) + 2 (- 1)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (3 x - 1)}{3 x^{2} - 2 x + 1}$