कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 4 \sin^{5} (\sqrt{x})$

चरण 1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

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चरण 1.1

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [4 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}})]$

चरण 1.2

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}})$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [\sin^{5} (x^{\frac{1}{2}})]$ है.

$4 \frac{d}{d x} [\sin^{5} (x^{\frac{1}{2}})]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{5}$ और $g (x) = \sin (x^{\frac{1}{2}})$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\sin (x^{\frac{1}{2}})$ के रूप में सेट करें.

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})])$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 5$ है.

$4 (5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})])$

चरण 2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\sin (x^{\frac{1}{2}})$ से बदलें.

$4 (5 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})])$

चरण 3

$5$ को $4$ से गुणा करें.

$20 (\sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})])$

चरण 4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ है.

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चरण 4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में सेट करें.

$20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 4.2

$u_{2}$ के संबंध में $\sin (u_{2})$ का व्युत्पन्न $\cos (u_{2})$ है.

$20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 4.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $x^{\frac{1}{2}}$ से बदलें.

$20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) (\cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

चरण 6

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

चरण 7

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

चरण 8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

चरण 9

न्यूमेरेटर को सरल करें.

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चरण 9.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

चरण 9.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

चरण 10

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

चरण 11

$\frac{1}{2}$ और $x^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

चरण 12

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ और $20$ को मिलाएं.

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 20}{2} \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}})$

चरण 13

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 20}{2}$ और $\sin^{4} (x^{\frac{1}{2}})$ को मिलाएं.

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}})}{2} \cos (x^{\frac{1}{2}})$

चरण 14

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}})}{2}$ और $\cos (x^{\frac{1}{2}})$ को मिलाएं.

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}})}{2}$

चरण 15

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 15.1

$20$ को $x^{- \frac{1}{2}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{20 \cdot x^{- \frac{1}{2}} \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}})}{2}$

चरण 15.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 16

$20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}})$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (10 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 17

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

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चरण 17.1

$2 x^{\frac{1}{2}}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (10 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}))}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

चरण 17.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 (10 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 17.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{10 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$