कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 5 \sqrt{x} \sin (x)$

चरण 1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

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चरण 1.1

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{1}{2}} \sin (x)]$

चरण 1.2

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 x^{\frac{1}{2}} \sin (x)$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \sin (x)]$ है.

$5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \sin (x)]$

चरण 2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = \sin (x)$ है.

$5 (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 3

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$5 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$5 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

चरण 5

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$5 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

चरण 6

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$5 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

चरण 7

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$5 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

चरण 8

न्यूमेरेटर को सरल करें.

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चरण 8.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$5 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

चरण 8.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$5 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

चरण 9

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$5 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

चरण 10

$\frac{1}{2}$ और $x^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$5 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

चरण 11

$\sin (x)$ और $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ को मिलाएं.

$5 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \frac{\sin (x) x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

चरण 12

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$5 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \frac{\sin (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

चरण 13

सरल करें.

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चरण 13.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$5 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x)) + 5 \frac{\sin (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 13.2

$5$ और $\frac{\sin (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$5 x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \frac{5 \sin (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$