कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 3 x e^{- 9 x^{2}}$

चरण 1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x e^{- 9 x^{2}}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x e^{- 9 x^{2}}]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [x e^{- 9 x^{2}}]$

चरण 2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = e^{- 9 x^{2}}$ है.

$3 (x \frac{d}{d x} [e^{- 9 x^{2}}] + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = - 9 x^{2}$ है.

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चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $- 9 x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$3 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$3 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $- 9 x^{2}$ से बदलें.

$3 (x (e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4

अवकलन करें.

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चरण 4.1

चूंकि $- 9$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 9 x^{2}$ का व्युत्पन्न $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$3 (x (e^{- 9 x^{2}} (- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$3 (x (e^{- 9 x^{2}} (- 9 (2 x))) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.3

$2$ को $- 9$ से गुणा करें.

$3 (x (e^{- 9 x^{2}} (- 18 x)) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 5

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$3 (x^{1} x (e^{- 9 x^{2}} \cdot (- 18)) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 6

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$3 (x^{1} x^{1} (e^{- 9 x^{2}} \cdot (- 18)) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 7

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$3 (x^{1 + 1} (e^{- 9 x^{2}} \cdot (- 18)) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 8

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 8.1

$1$ और $1$ जोड़ें.

$3 (x^{2} (e^{- 9 x^{2}} \cdot (- 18)) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 8.2

$- 18$ को $e^{- 9 x^{2}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$3 (x^{2} (- 18 \cdot e^{- 9 x^{2}}) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 9

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 (x^{2} (- 18 e^{- 9 x^{2}}) + e^{- 9 x^{2}} \cdot 1)$

चरण 10

$e^{- 9 x^{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$3 (x^{2} (- 18 e^{- 9 x^{2}}) + e^{- 9 x^{2}})$

चरण 11

सरल करें.

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चरण 11.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$3 (x^{2} (- 18 e^{- 9 x^{2}})) + 3 e^{- 9 x^{2}}$

चरण 11.2

$- 18$ को $3$ से गुणा करें.

$- 54 x^{2} e^{- 9 x^{2}} + 3 e^{- 9 x^{2}}$

चरण 11.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- 54 e^{- 9 x^{2}} x^{2} + 3 e^{- 9 x^{2}}$

चरण 11.4

गुणनखंडों को $- 54 e^{- 9 x^{2}} x^{2} + 3 e^{- 9 x^{2}}$ में पुन: क्रमित करें.

$- 54 x^{2} e^{- 9 x^{2}} + 3 e^{- 9 x^{2}}$