कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 3 x^{2} {(6 - 9 x)}^{4}$

चरण 1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x^{2} {(6 - 9 x)}^{4}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x^{2} {(6 - 9 x)}^{4}]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} {(6 - 9 x)}^{4}]$

चरण 2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = {(6 - 9 x)}^{4}$ है.

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(6 - 9 x)}^{4}] + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{4}$ और $g (x) = 6 - 9 x$ है.

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चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $6 - 9 x$ के रूप में सेट करें.

$3 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [6 - 9 x]) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$3 (x^{2} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [6 - 9 x]) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $6 - 9 x$ से बदलें.

$3 (x^{2} (4 {(6 - 9 x)}^{3} \frac{d}{d x} [6 - 9 x]) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 4

अवकलन करें.

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चरण 4.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $6 - 9 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ है.

$3 (x^{2} (4 {(6 - 9 x)}^{3} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- 9 x])) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 4.2

चूंकि $x$ के संबंध में $6$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $6$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 (x^{2} (4 {(6 - 9 x)}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- 9 x])) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 4.3

$0$ और $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ जोड़ें.

$3 (x^{2} (4 {(6 - 9 x)}^{3} \frac{d}{d x} [- 9 x]) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 4.4

चूंकि $- 9$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 9 x$ का व्युत्पन्न $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$3 (x^{2} (4 {(6 - 9 x)}^{3} (- 9 \frac{d}{d x} [x])) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 4.5

$- 9$ को $4$ से गुणा करें.

$3 (x^{2} (- 36 {(6 - 9 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 4.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 (x^{2} (- 36 {(6 - 9 x)}^{3} \cdot 1) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 4.7

$- 36$ को $1$ से गुणा करें.

$3 (x^{2} (- 36 {(6 - 9 x)}^{3}) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 4.8

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$3 (x^{2} (- 36 {(6 - 9 x)}^{3}) + {(6 - 9 x)}^{4} (2 x))$

चरण 4.9

$2$ को ${(6 - 9 x)}^{4}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$3 (x^{2} (- 36 {(6 - 9 x)}^{3}) + 2 \cdot {(6 - 9 x)}^{4} x)$

चरण 5

सरल करें.

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चरण 5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$3 (x^{2} (- 36 {(6 - 9 x)}^{3})) + 3 (2 {(6 - 9 x)}^{4} x)$

चरण 5.2

$- 36$ को $3$ से गुणा करें.

$- 108 (x^{2} ({(6 - 9 x)}^{3})) + 3 (2 {(6 - 9 x)}^{4} x)$

चरण 5.3

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$- 108 x^{2} {(6 - 9 x)}^{3} + 6 ({(6 - 9 x)}^{4} x)$

चरण 5.4

$- 108 x^{2} {(6 - 9 x)}^{3} + 6 {(6 - 9 x)}^{4} x$ में से $6 x {(6 - 9 x)}^{3}$ का गुणनखंड करें.

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चरण 5.4.1

$- 108 x^{2} {(6 - 9 x)}^{3}$ में से $6 x {(6 - 9 x)}^{3}$ का गुणनखंड करें.

$6 x {(6 - 9 x)}^{3} (- 18 x) + 6 {(6 - 9 x)}^{4} x$

चरण 5.4.2

$6 {(6 - 9 x)}^{4} x$ में से $6 x {(6 - 9 x)}^{3}$ का गुणनखंड करें.

$6 x {(6 - 9 x)}^{3} (- 18 x) + 6 x {(6 - 9 x)}^{3} (6 - 9 x)$

चरण 5.4.3

$6 x {(6 - 9 x)}^{3} (- 18 x) + 6 x {(6 - 9 x)}^{3} (6 - 9 x)$ में से $6 x {(6 - 9 x)}^{3}$ का गुणनखंड करें.

$6 x {(6 - 9 x)}^{3} (- 18 x + 6 - 9 x)$

चरण 5.5

$- 18 x$ में से $9 x$ घटाएं.

$6 x {(6 - 9 x)}^{3} (- 27 x + 6)$