कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x^{5} e^{2 x}$

चरण 1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{5}$ और $g (x) = e^{2 x}$ है.

$x^{5} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = 2 x$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$x^{5} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

चरण 2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$x^{5} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

चरण 2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$x^{5} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

चरण 3

अवकलन करें.

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चरण 3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$x^{5} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$x^{5} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

चरण 3.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 3.3.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x^{5} (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

चरण 3.3.2

$2$ को $e^{2 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x^{5} (2 \cdot e^{2 x}) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

चरण 3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 5$ है.

$x^{5} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (5 x^{4})$

चरण 4

सरल करें.

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चरण 4.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$2 e^{2 x} x^{5} + 5 e^{2 x} x^{4}$

चरण 4.2

गुणनखंडों को $2 e^{2 x} x^{5} + 5 e^{2 x} x^{4}$ में पुन: क्रमित करें.

$2 x^{5} e^{2 x} + 5 x^{4} e^{2 x}$