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कैलकुलस उदाहरण
चरण 1
चरण 1.1
चूंकि , के संबंध में स्थिर है, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 1.2
भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ और है.
चरण 1.3
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.
चरण 1.3.1
घातांक को में गुणा करें.
चरण 1.3.1.1
घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, .
चरण 1.3.1.2
को के बाईं ओर ले जाएं.
चरण 1.3.2
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ है.
चरण 1.4
चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ = है.
चरण 1.5
और को मिलाएं.
चरण 1.6
सरल करें.
चरण 1.6.1
वितरण गुणधर्म लागू करें.
चरण 1.6.2
न्यूमेरेटर को सरल करें.
चरण 1.6.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 1.6.2.1.1
गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.
चरण 1.6.2.1.2
को से गुणा करें.
चरण 1.6.2.1.3
को से गुणा करें.
चरण 1.6.2.2
गुणनखंडों को में पुन: क्रमित करें.
चरण 1.6.3
पदों को पुन: व्यवस्थित करें
चरण 1.6.4
में से का गुणनखंड करें.
चरण 1.6.4.1
में से का गुणनखंड करें.
चरण 1.6.4.2
में से का गुणनखंड करें.
चरण 1.6.4.3
में से का गुणनखंड करें.
चरण 1.6.5
और के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.
चरण 1.6.5.1
में से का गुणनखंड करें.
चरण 1.6.5.2
उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.
चरण 1.6.5.2.1
से गुणा करें.
चरण 1.6.5.2.2
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 1.6.5.2.3
व्यंजक को फिर से लिखें.
चरण 1.6.5.2.4
को से विभाजित करें.
चरण 1.6.6
वितरण गुणधर्म लागू करें.
चरण 1.6.7
को से गुणा करें.
चरण 1.6.8
घातांक जोड़कर को से गुणा करें.
चरण 1.6.8.1
ले जाएं.
चरण 1.6.8.2
को से गुणा करें.
चरण 1.6.8.2.1
को के घात तक बढ़ाएं.
चरण 1.6.8.2.2
घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम का उपयोग करें.
चरण 1.6.8.3
और जोड़ें.
चरण 1.6.9
को से गुणा करें.
चरण 1.6.10
गुणनखंडों को में पुन: क्रमित करें.
चरण 2
चरण 2.1
योग नियम के अनुसार, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 2.2
का मान ज्ञात करें.
चरण 2.2.1
चूंकि , के संबंध में स्थिर है, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 2.2.2
गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ और है.
चरण 2.2.3
चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ और है.
चरण 2.2.3.1
चेन रूल लागू करने के लिए, को के रूप में सेट करें.
चरण 2.2.3.2
चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ = है.
चरण 2.2.3.3
की सभी घटनाओं को से बदलें.
चरण 2.2.4
चूंकि , के संबंध में स्थिर है, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 2.2.5
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ है.
चरण 2.2.6
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ है.
चरण 2.2.7
को से गुणा करें.
चरण 2.2.8
को के बाईं ओर ले जाएं.
चरण 2.2.9
को के रूप में फिर से लिखें.
चरण 2.3
का मान ज्ञात करें.
चरण 2.3.1
चूंकि , के संबंध में स्थिर है, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 2.3.2
गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ और है.
चरण 2.3.3
चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ और है.
चरण 2.3.3.1
चेन रूल लागू करने के लिए, को के रूप में सेट करें.
चरण 2.3.3.2
चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ = है.
चरण 2.3.3.3
की सभी घटनाओं को से बदलें.
चरण 2.3.4
चूंकि , के संबंध में स्थिर है, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 2.3.5
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ है.
चरण 2.3.6
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ है.
चरण 2.3.7
को से गुणा करें.
चरण 2.3.8
को के बाईं ओर ले जाएं.
चरण 2.3.9
को के रूप में फिर से लिखें.
चरण 2.4
सरल करें.
चरण 2.4.1
वितरण गुणधर्म लागू करें.
चरण 2.4.2
वितरण गुणधर्म लागू करें.
चरण 2.4.3
पदों को मिलाएं.
चरण 2.4.3.1
को से गुणा करें.
चरण 2.4.3.2
को से गुणा करें.
चरण 2.4.3.3
को से गुणा करें.
चरण 2.4.3.4
को से गुणा करें.
चरण 2.4.3.5
में से घटाएं.
चरण 2.4.3.5.1
ले जाएं.
चरण 2.4.3.5.2
में से घटाएं.
चरण 2.4.4
पदों को पुन: व्यवस्थित करें
चरण 2.4.5
गुणनखंडों को में पुन: क्रमित करें.
चरण 3
फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को के बराबर सेट करें और हल करें.
चरण 4
चरण 4.1
पहला व्युत्पन्न पता करें.
चरण 4.1.1
चूंकि , के संबंध में स्थिर है, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 4.1.2
भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ और है.
चरण 4.1.3
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.
चरण 4.1.3.1
घातांक को में गुणा करें.
चरण 4.1.3.1.1
घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, .
चरण 4.1.3.1.2
को के बाईं ओर ले जाएं.
चरण 4.1.3.2
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ है.
चरण 4.1.4
चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ = है.
चरण 4.1.5
और को मिलाएं.
चरण 4.1.6
सरल करें.
चरण 4.1.6.1
वितरण गुणधर्म लागू करें.
चरण 4.1.6.2
न्यूमेरेटर को सरल करें.
चरण 4.1.6.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 4.1.6.2.1.1
गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.
चरण 4.1.6.2.1.2
को से गुणा करें.
चरण 4.1.6.2.1.3
को से गुणा करें.
चरण 4.1.6.2.2
गुणनखंडों को में पुन: क्रमित करें.
चरण 4.1.6.3
पदों को पुन: व्यवस्थित करें
चरण 4.1.6.4
में से का गुणनखंड करें.
चरण 4.1.6.4.1
में से का गुणनखंड करें.
चरण 4.1.6.4.2
में से का गुणनखंड करें.
चरण 4.1.6.4.3
में से का गुणनखंड करें.
चरण 4.1.6.5
और के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.
चरण 4.1.6.5.1
में से का गुणनखंड करें.
चरण 4.1.6.5.2
उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.
चरण 4.1.6.5.2.1
से गुणा करें.
चरण 4.1.6.5.2.2
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 4.1.6.5.2.3
व्यंजक को फिर से लिखें.
चरण 4.1.6.5.2.4
को से विभाजित करें.
चरण 4.1.6.6
वितरण गुणधर्म लागू करें.
चरण 4.1.6.7
को से गुणा करें.
चरण 4.1.6.8
घातांक जोड़कर को से गुणा करें.
चरण 4.1.6.8.1
ले जाएं.
चरण 4.1.6.8.2
को से गुणा करें.
चरण 4.1.6.8.2.1
को के घात तक बढ़ाएं.
चरण 4.1.6.8.2.2
घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम का उपयोग करें.
चरण 4.1.6.8.3
और जोड़ें.
चरण 4.1.6.9
को से गुणा करें.
चरण 4.1.6.10
गुणनखंडों को में पुन: क्रमित करें.
चरण 4.2
का पहला व्युत्पन्न बटे , है.
चरण 5
चरण 5.1
पहले व्युत्पन्न को के बराबर सेट करें.
चरण 5.2
में से का गुणनखंड करें.
चरण 5.2.1
में से का गुणनखंड करें.
चरण 5.2.2
में से का गुणनखंड करें.
चरण 5.2.3
में से का गुणनखंड करें.
चरण 5.3
यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक के बराबर होगा.
चरण 5.4
को के बराबर सेट करें और के लिए हल करें.
चरण 5.4.1
को के बराबर सेट करें.
चरण 5.4.2
के लिए हल करें.
चरण 5.4.2.1
बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I
चरण 5.4.2.2
को सरल करें.
चरण 5.4.2.2.1
को के रूप में फिर से लिखें.
चरण 5.4.2.2.2
धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.
चरण 5.4.2.2.3
जोड़ या घटाव , है.
चरण 5.5
को के बराबर सेट करें और के लिए हल करें.
चरण 5.5.1
को के बराबर सेट करें.
चरण 5.5.2
के लिए हल करें.
चरण 5.5.2.1
घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.
चरण 5.5.2.2
समीकरण हल नहीं किया जा सकता क्योंकि अपरिभाषित है.
अपरिभाषित
चरण 5.5.2.3
का कोई हल नहीं है
कोई हल नहीं
कोई हल नहीं
कोई हल नहीं
चरण 5.6
को के बराबर सेट करें और के लिए हल करें.
चरण 5.6.1
को के बराबर सेट करें.
चरण 5.6.2
के लिए हल करें.
चरण 5.6.2.1
समीकरण के दोनों पक्षों से घटाएं.
चरण 5.6.2.2
के प्रत्येक पद को से भाग दें और सरल करें.
चरण 5.6.2.2.1
के प्रत्येक पद को से विभाजित करें.
चरण 5.6.2.2.2
बाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 5.6.2.2.2.1
दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.
चरण 5.6.2.2.2.2
को से विभाजित करें.
चरण 5.6.2.2.3
दाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 5.6.2.2.3.1
को से विभाजित करें.
चरण 5.7
अंतिम हल वो सभी मान हैं जो को सिद्ध करते हैं.
चरण 6
चरण 6.1
व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.
चरण 7
मूल्यांकन के लिए क्रांतिक बिन्दु.
चरण 8
पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.
चरण 9
चरण 9.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 9.1.1
को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से प्राप्त होता है.
चरण 9.1.2
को से गुणा करें.
चरण 9.1.3
को से गुणा करें.
चरण 9.1.4
तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ होती है.
चरण 9.1.5
को से गुणा करें.
चरण 9.1.6
को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से प्राप्त होता है.
चरण 9.1.7
को से गुणा करें.
चरण 9.1.8
को से गुणा करें.
चरण 9.1.9
तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ होती है.
चरण 9.1.10
को से गुणा करें.
चरण 9.1.11
को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से प्राप्त होता है.
चरण 9.1.12
को से गुणा करें.
चरण 9.1.13
को से गुणा करें.
चरण 9.1.14
तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ होती है.
चरण 9.1.15
को से गुणा करें.
चरण 9.2
संख्याओं को जोड़कर सरल करें.
चरण 9.2.1
और जोड़ें.
चरण 9.2.2
और जोड़ें.
चरण 10
चरण 10.1
को मानों के लगभग अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो पहले व्युत्पन्न या अपरिभाषित बनाते हैं.
चरण 10.2
पहले व्युत्पन्न में अंतराल से कोई भी संख्या, जैसे को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.
चरण 10.2.1
व्यंजक में चर को से बदलें.
चरण 10.2.2
परिणाम को सरल बनाएंं.
चरण 10.2.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 10.2.2.1.1
को के घात तक बढ़ाएं.
चरण 10.2.2.1.2
को से गुणा करें.
चरण 10.2.2.1.3
को से गुणा करें.
चरण 10.2.2.1.4
को के घात तक बढ़ाएं.
चरण 10.2.2.1.5
को से गुणा करें.
चरण 10.2.2.1.6
को से गुणा करें.
चरण 10.2.2.2
और जोड़ें.
चरण 10.2.2.3
अंतिम उत्तर है.
चरण 10.3
पहले व्युत्पन्न में अंतराल से कोई भी संख्या, जैसे को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.
चरण 10.3.1
व्यंजक में चर को से बदलें.
चरण 10.3.2
परिणाम को सरल बनाएंं.
चरण 10.3.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 10.3.2.1.1
को के घात तक बढ़ाएं.
चरण 10.3.2.1.2
को से गुणा करें.
चरण 10.3.2.1.3
को से गुणा करें.
चरण 10.3.2.1.4
ऋणात्मक घातांक नियम का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.
चरण 10.3.2.1.5
और को मिलाएं.
चरण 10.3.2.1.6
को के घात तक बढ़ाएं.
चरण 10.3.2.1.7
को से गुणा करें.
चरण 10.3.2.1.8
को से गुणा करें.
चरण 10.3.2.1.9
ऋणात्मक घातांक नियम का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.
चरण 10.3.2.1.10
और को मिलाएं.
चरण 10.3.2.1.11
भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.
चरण 10.3.2.2
न्यूमेरेटरों को जोड़ें.
चरण 10.3.2.2.1
सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.
चरण 10.3.2.2.2
में से घटाएं.
चरण 10.3.2.3
अंतिम उत्तर है.
चरण 10.4
पहले व्युत्पन्न में अंतराल से कोई भी संख्या, जैसे को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.
चरण 10.4.1
व्यंजक में चर को से बदलें.
चरण 10.4.2
परिणाम को सरल बनाएंं.
चरण 10.4.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 10.4.2.1.1
को के घात तक बढ़ाएं.
चरण 10.4.2.1.2
को से गुणा करें.
चरण 10.4.2.1.3
को से गुणा करें.
चरण 10.4.2.1.4
ऋणात्मक घातांक नियम का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.
चरण 10.4.2.1.5
और को मिलाएं.
चरण 10.4.2.1.6
को के घात तक बढ़ाएं.
चरण 10.4.2.1.7
को से गुणा करें.
चरण 10.4.2.1.8
को से गुणा करें.
चरण 10.4.2.1.9
ऋणात्मक घातांक नियम का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.
चरण 10.4.2.1.10
और को मिलाएं.
चरण 10.4.2.1.11
भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.
चरण 10.4.2.2
न्यूमेरेटरों को जोड़ें.
चरण 10.4.2.2.1
सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.
चरण 10.4.2.2.2
व्यंजक को सरल बनाएंं.
चरण 10.4.2.2.2.1
में से घटाएं.
चरण 10.4.2.2.2.2
भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.
चरण 10.4.2.3
अंतिम उत्तर है.
चरण 10.5
चूँकि पहले व्युत्पन्न ने के आसपास के संकेतों को नहीं बदला, यह स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम नहीं है.
स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम नहीं
चरण 10.6
चूँकि पहले व्युत्पन्न ने संकेतों को धनात्मक से ऋणात्मक में के लगभग बदल दिया, तो एक स्थानीय अधिकतम है.
एक स्थानीय अधिकतम है.
एक स्थानीय अधिकतम है.
चरण 11