कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = | x |$

चरण 1

$x$ के संबंध में $| x |$ का व्युत्पन्न $\frac{x}{| x |}$ है.

$\frac{x}{| x |}$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = | x |$ है.

$f'' (x) = \frac{| x | \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}}$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f'' (x) = \frac{| x | \cdot 1 - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}}$

चरण 2.2.2

$| x |$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{| x | - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}}$

चरण 2.3

$x$ के संबंध में $| x |$ का व्युत्पन्न $\frac{x}{| x |}$ है.

$f'' (x) = \frac{| x | - x \frac{x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

चरण 2.4

$\frac{x}{| x |}$ और $x$ को मिलाएं.

$f'' (x) = \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

चरण 2.5

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

चरण 2.6

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

चरण 2.7

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = \frac{| x | - \frac{x^{1 + 1}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

चरण 2.8

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

चरण 2.9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.9.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2}}{| x |} + | x |}{{| x |}^{2}}$

चरण 2.9.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.9.2.1

$| x |$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{| x |}{| x |}$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2}}{| x |} + \frac{| x | | x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

चरण 2.9.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x | | x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

चरण 2.9.2.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.9.2.3.1

$| x | | x |$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.9.2.3.1.1

निरपेक्ष मानों को गुणा करने के लिए, प्रत्येक निरपेक्ष मान के अंदर के पदों को गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x \cdot x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

चरण 2.9.2.3.1.2

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x \cdot x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

चरण 2.9.2.3.1.3

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x \cdot x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

चरण 2.9.2.3.1.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x^{1 + 1} |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

चरण 2.9.2.3.1.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x^{2} |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

चरण 2.9.2.3.2

निरपेक्ष मान से गैर-ऋणात्मक शब्द हटा दें.

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

चरण 2.9.2.3.3

$- x^{2}$ और $x^{2}$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{\frac{0}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

चरण 2.9.2.4

$0$ को $| x |$ से विभाजित करें.

$f'' (x) = \frac{0}{{| x |}^{2}}$

चरण 2.9.3

${| x |}^{2}$ में निरपेक्ष मान हटा दें क्योंकि सम घात वाले घातांक हमेशा धनात्मक होते हैं.

$f'' (x) = \frac{0}{x^{2}}$

चरण 2.9.4

$0$ को $x^{2}$ से विभाजित करें.

$f'' (x) = 0$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$\frac{x}{| x |} = 0$

चरण 4

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x$ के संबंध में $| x |$ का व्युत्पन्न $\frac{x}{| x |}$ है.

$f' (x) = \frac{x}{| x |}$

चरण 4.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{x}{| x |}$ है.

$\frac{x}{| x |}$

चरण 5

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{x}{| x |} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{x}{| x |} = 0$

चरण 5.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$x = 0$

चरण 5.3

उन हलों को छोड़ दें जो $\frac{x}{| x |} = 0$ को सत्य नहीं बनाते हैं.

$कोई हल नहीं$

चरण 6

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\frac{x}{| x |}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$| x | = 0$

चरण 6.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$x = \pm 0$

चरण 6.2.2

जोड़ या घटाव $0$ , $0$ है.

$x = 0$

चरण 7

मूल्यांकन के लिए क्रांतिक बिन्दु.

$x = 0$

चरण 8

$x = 0$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$0$

चरण 9

चूँकि $0$ या अपरिभाषित दूसरा व्युत्पन्न के साथ कम से कम एक बिंदु है, इसलिए पहला व्युत्पन्न परीक्षण लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$(- \infty, \infty)$ को $x$ मानों के लगभग अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो पहले व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित बनाते हैं.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

चरण 9.2

पहले व्युत्पन्न $\frac{x}{| x |}$ में अंतराल $(- \infty, 0)$ से कोई भी संख्या, जैसे $- 2$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 2$ से बदलें.

$f' (- 2) = \frac{- 2}{| - 2 |}$

चरण 9.2.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.2.1

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $- 2$ और $0$ के बीच की दूरी $2$ है.

$f' (- 2) = \frac{- 2}{2}$

चरण 9.2.2.2

$- 2$ को $2$ से विभाजित करें.

$f' (- 2) = - 1$

चरण 9.2.2.3

अंतिम उत्तर $- 1$ है.

$- 1$

चरण 9.3

पहले व्युत्पन्न $\frac{x}{| x |}$ में अंतराल $(0, \infty)$ से कोई भी संख्या, जैसे $2$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

व्यंजक में चर $x$ को $2$ से बदलें.

$f' (2) = \frac{2}{| 2 |}$

चरण 9.3.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.2.1

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $2$ के बीच की दूरी $2$ है.

$f' (2) = \frac{2}{2}$

चरण 9.3.2.2

$2$ को $2$ से विभाजित करें.

$f' (2) = 1$

चरण 9.3.2.3

अंतिम उत्तर $1$ है.

$1$

चरण 9.4

चूँकि पहले व्युत्पन्न ने संकेतों को ऋणात्मक से धनात्मक में $x = 0$ के लगभग बदल दिया, तो $x = 0$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

$x = 0$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 10