कैलकुलस उदाहरण

$4 x - 64 x^{- 3}$

चरण 1

$4 x - 64 x^{- 3}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = 4 x - 64 x^{- 3}$

चरण 2

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 x - 64 x^{- 3}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$ है.

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [4 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$

चरण 2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$

चरण 2.2.3

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$4 + \frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $- 64$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 64 x^{- 3}$ का व्युत्पन्न $- 64 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ है.

$4 - 64 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 3$ है.

$4 - 64 (- 3 x^{- 4})$

चरण 2.3.3

$- 3$ को $- 64$ से गुणा करें.

$4 + 192 x^{- 4}$

चरण 2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$192 x^{- 4} + 4$

चरण 2.4.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$192 \frac{1}{x^{4}} + 4$

चरण 2.4.2.2

$192$ और $\frac{1}{x^{4}}$ को मिलाएं.

$\frac{192}{x^{4}} + 4$

चरण 3

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\frac{192}{x^{4}} + 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\frac{192}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [4]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{192}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (4)$

चरण 3.2

$\frac{d}{d x} [\frac{192}{x^{4}}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चूंकि $192$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{192}{x^{4}}$ का व्युत्पन्न $192 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ है.

$f'' (x) = 192 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (4)$

चरण 3.2.2

$\frac{1}{x^{4}}$ को ${(x^{4})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f'' (x) = 192 \frac{d}{d x} ({(x^{4})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (4)$

चरण 3.2.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 1}$ और $g (x) = x^{4}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{4}$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = 192 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (4)$

चरण 3.2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$f'' (x) = 192 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4}) + \frac{d}{d x} (4)$

चरण 3.2.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{4}$ से बदलें.

$f'' (x) = 192 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4}) + \frac{d}{d x} (4)$

चरण 3.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$f'' (x) = 192 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (4)$

चरण 3.2.5

घातांक को ${(x^{4})}^{- 2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.5.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 192 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (4)$

चरण 3.2.5.2

$4$ को $- 2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 192 (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (4)$

चरण 3.2.6

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 192 (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} (4)$

चरण 3.2.7

घातांक जोड़कर $x^{- 8}$ को $x^{3}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.7.1

$x^{3}$ ले जाएं.

$f'' (x) = 192 (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} (4)$

चरण 3.2.7.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = 192 (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} (4)$

चरण 3.2.7.3

$3$ में से $8$ घटाएं.

$f'' (x) = 192 (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} (4)$

चरण 3.2.8

$- 4$ को $192$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 768 x^{- 5} + \frac{d}{d x} (4)$

चरण 3.3

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = - 768 x^{- 5} + 0$

चरण 3.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (x) = - 768 \frac{1}{x^{5}} + 0$

चरण 3.4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1

$- 768$ और $\frac{1}{x^{5}}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = \frac{- 768}{x^{5}} + 0$

चरण 3.4.2.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (x) = - \frac{768}{x^{5}} + 0$

चरण 3.4.2.3

$- \frac{768}{x^{5}}$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = - \frac{768}{x^{5}}$

चरण 4

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$\frac{192}{x^{4}} + 4 = 0$

चरण 5

चूंकि $x$ का कोई मान नहीं है जो पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाता है, इसलिए कोई स्थानीय एक्स्ट्रेमा नहीं है.

कोई स्थानीय उच्चत्तम मान नहीं

चरण 6

कोई स्थानीय उच्चत्तम मान नहीं

चरण 7