कैलकुलस उदाहरण

$\sqrt{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 1

$\sqrt{x^{2} + 4 x + 8}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 2

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\sqrt{x^{2} + 4 x + 8}$ को ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = x^{2} + 4 x + 8$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2} + 4 x + 8$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

चरण 2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

चरण 2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + 4 x + 8$ से बदलें.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

चरण 2.3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

चरण 2.4

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

चरण 2.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

चरण 2.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

चरण 2.6.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

चरण 2.7

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

चरण 2.7.2

$\frac{1}{2}$ और ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

चरण 2.7.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

चरण 2.8

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 4 x + 8$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [8]$ है.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [8])$

चरण 2.9

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [8])$

चरण 2.10

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])$

चरण 2.11

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8])$

चरण 2.12

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4 + \frac{d}{d x} [8])$

चरण 2.13

चूंकि $x$ के संबंध में $8$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $8$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4 + 0)$

चरण 2.14

$2 x + 4$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4)$

चरण 2.15

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.15.1

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$(2 x + 4) \frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.15.2

$2 x + 4$ को $\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{2 x + 4}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.15.3

$2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (x) + 4}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.15.4

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (x) + 2 \cdot 2}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.15.5

$2 (x) + 2 (2)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (x + 2)}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.15.6

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.15.6.1

$2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (x + 2)}{2 ({(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}})}$

चरण 2.15.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 (x + 2)}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.15.6.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x + 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 3

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x + 2$ और $g (x) = {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ है.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 3.2

घातांक को ${({(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 3.2.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 3.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.3

सरल करें.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ है.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.4.2

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} (2)) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.4.3

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.4.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.4.4.2

${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.5

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $x^{2} + 4 x + 8$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.5.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.5.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + 4 x + 8$ से बदलें.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.6

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.7

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.9

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.9.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.10

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.10.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.10.2

$\frac{1}{2}$ और ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.10.3

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.11

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (8)))}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.12

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (8)))}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.13

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (8)))}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.14

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (8)))}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.15

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 4 + \frac{d}{d x} (8)))}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.16

चूंकि $x$ के संबंध में $8$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $8$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 4 + 0))}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.17

$2 x + 4$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 4))}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.18

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.18.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 4))}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.18.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.18.2.1

मान लीजिए $u_{2} = {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ . ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ की सभी घटनाओं के लिए $u_{2}$ को प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.18.2.1.1

$u_{2}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = \frac{\frac{u_{2} u_{2} - {(x + 2)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.18.2.1.2

$u_{2}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = \frac{\frac{u_{2} u_{2} - {(x + 2)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.18.2.1.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = \frac{\frac{{u_{2}}^{1 + 1} - {(x + 2)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.18.2.1.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{\frac{{u_{2}}^{2} - {(x + 2)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.18.2.1.5

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = u_{2}$ और $b = x + 2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{(u_{2} + x + 2) (u_{2} - (x + 2))}{u_{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.18.2.1.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.18.2.1.6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = \frac{\frac{(u_{2} + x + 2) (u_{2} - x - 1 \cdot 2)}{u_{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.18.2.1.6.2

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{\frac{(u_{2} + x + 2) (u_{2} - x - 2)}{u_{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.18.2.2

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ से बदलें.

$f'' (x) = \frac{\frac{({(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + x + 2) ({(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - x - 2)}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.18.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.18.2.3.1

प्रथम व्यंजक के प्रत्येक पद को द्वितीय व्यंजक के प्रत्येक पद से गुणा करके $({(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + x + 2) ({(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - x - 2)$ का प्रसार करें.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (- x) + {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 2 + x {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.18.2.3.2

${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (- x) + {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 2 + x {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x) + 2 \cdot - 2$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.18.2.3.2.1

गुणनखंडों को ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (- x)$ और $x {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ पदों में पुन: व्यवस्थित करें.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - x {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 2 + x {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.18.2.3.2.2

$- x {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ और $x {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 2 + 0 + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.18.2.3.2.3

${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 2$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 2 + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.18.2.3.2.4

गुणनखंडों को ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 2$ और $2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ पदों में पुन: व्यवस्थित करें.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - 2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.18.2.3.2.5

$- 2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ और $2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2 + 0 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.18.2.3.2.6

${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.18.2.3.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.18.2.3.3.1

घातांक जोड़कर ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ को ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.18.2.3.3.1.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.18.2.3.3.1.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1 + 1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.18.2.3.3.1.3

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{2}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.18.2.3.3.1.4

$2$ को $2$ से विभाजित करें.

$f'' (x) = \frac{\frac{(x^{2} + 4 x + 8) + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.18.2.3.3.2

${(x^{2} + 4 x + 8)}^{1}$ को सरल करें.

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 4 x + 8 + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.18.2.3.3.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 4 x + 8 - x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.18.2.3.3.4

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.18.2.3.3.4.1

$x$ ले जाएं.

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 4 x + 8 - (x \cdot x) + x \cdot - 2 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.18.2.3.3.4.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 4 x + 8 - x^{2} + x \cdot - 2 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.18.2.3.3.5

$- 2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 4 x + 8 - x^{2} - 2 \cdot x + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.18.2.3.3.6

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 4 x + 8 - x^{2} - 2 x - 2 x + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.18.2.3.3.7

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 4 x + 8 - x^{2} - 2 x - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.18.2.3.4

$x^{2} + 4 x + 8 - x^{2} - 2 x - 2 x - 4$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.18.2.3.4.1

$x^{2}$ में से $x^{2}$ घटाएं.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x + 8 + 0 - 2 x - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.18.2.3.4.2

$4 x + 8$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x + 8 - 2 x - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.18.2.3.5

$4 x$ में से $2 x$ घटाएं.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x + 8 - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.18.2.3.6

$2 x + 8 - 2 x - 4$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.18.2.3.6.1

$2 x$ में से $2 x$ घटाएं.

$f'' (x) = \frac{\frac{0 + 8 - 4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.18.2.3.6.2

$0$ और $8$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{\frac{8 - 4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.18.2.3.7

$8$ में से $4$ घटाएं.

$f'' (x) = \frac{\frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.18.3

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.18.3.1

एक गुणनफल के रूप में $\frac{\frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$ को फिर से लिखें.

$f'' (x) = \frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 4 x + 8}$

चरण 3.18.3.2

$\frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ को $\frac{1}{x^{2} + 4 x + 8}$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 4 x + 8)}$

चरण 3.18.3.3

घातांक जोड़कर ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ को $x^{2} + 4 x + 8$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.18.3.3.1

${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ को $x^{2} + 4 x + 8$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.18.3.3.1.1

$x^{2} + 4 x + 8$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = \frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 4 x + 8)}$

चरण 3.18.3.3.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = \frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

चरण 3.18.3.3.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$f'' (x) = \frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

चरण 3.18.3.3.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

चरण 3.18.3.3.4

$1$ और $2$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 4

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$\frac{x + 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

चरण 5

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 5.1.2

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2} + 4 x + 8$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

चरण 5.1.2.2

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

चरण 5.1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + 4 x + 8$ से बदलें.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

चरण 5.1.3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

चरण 5.1.4

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

चरण 5.1.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

चरण 5.1.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.6.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

चरण 5.1.6.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

चरण 5.1.7

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.7.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

चरण 5.1.7.2

$\frac{1}{2}$ और ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

चरण 5.1.7.3

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

चरण 5.1.8

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [8])$

चरण 5.1.9

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [8])$

चरण 5.1.10

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])$

चरण 5.1.11

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8])$

चरण 5.1.12

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4 + \frac{d}{d x} [8])$

चरण 5.1.13

चूंकि $x$ के संबंध में $8$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $8$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4 + 0)$

चरण 5.1.14

$2 x + 4$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4)$

चरण 5.1.15

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.15.1

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$(2 x + 4) \frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 5.1.15.2

$2 x + 4$ को $\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{2 x + 4}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 5.1.15.3

$2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (x) + 4}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 5.1.15.4

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (x) + 2 \cdot 2}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 5.1.15.5

$2 (x) + 2 (2)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (x + 2)}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 5.1.15.6

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.15.6.1

$2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (x + 2)}{2 ({(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}})}$

चरण 5.1.15.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 (x + 2)}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 5.1.15.6.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (x) = \frac{x + 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 5.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{x + 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ है.

$\frac{x + 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{x + 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{x + 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

चरण 6.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$x + 2 = 0$

चरण 6.3

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$x = - 2$

चरण 7

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

चरण 8

मूल्यांकन के लिए क्रांतिक बिन्दु.

$x = - 2$

चरण 9

$x = - 2$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$\frac{4}{{({(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 10

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.1.1

$- 2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{4}{{(4 + 4 (- 2) + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 10.1.1.2

$4$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\frac{4}{{(4 - 8 + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 10.1.2

$4$ में से $8$ घटाएं.

$\frac{4}{{(- 4 + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 10.1.3

$- 4$ और $8$ जोड़ें.

$\frac{4}{4^{\frac{3}{2}}}$

चरण 10.1.4

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{4}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 10.1.5

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

चरण 10.1.6

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.6.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

चरण 10.1.6.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{4}{2^{3}}$

चरण 10.1.7

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{4}{8}$

चरण 10.2

$4$ और $8$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

$4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 (1)}{8}$

चरण 10.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.2.1

$8$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

चरण 10.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

चरण 10.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2}$

चरण 11

$x = - 2$ एक स्थानीय न्यूनतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान धनात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = - 2$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 12

$x = - 2$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 2$ से बदलें.

$f (- 2) = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 8}$

चरण 12.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.1

$- 2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- 2) = \sqrt{4 + 4 (- 2) + 8}$

चरण 12.2.2

$4$ को $- 2$ से गुणा करें.

$f (- 2) = \sqrt{4 - 8 + 8}$

चरण 12.2.3

$4$ में से $8$ घटाएं.

$f (- 2) = \sqrt{- 4 + 8}$

चरण 12.2.4

$- 4$ और $8$ जोड़ें.

$f (- 2) = \sqrt{4}$

चरण 12.2.5

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (- 2) = \sqrt{2^{2}}$

चरण 12.2.6

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$f (- 2) = 2$

चरण 12.2.7

अंतिम उत्तर $2$ है.

$y = 2$

चरण 13

ये $f (x) = \sqrt{x^{2} + 4 x + 8}$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$(- 2, 2)$ एक स्थानीय निम्नत्तम है

चरण 14