कैलकुलस उदाहरण

$v (t) = 3 t \sqrt{9 - t^{2}}$

चरण 1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$\sqrt{9 - t^{2}}$ को ${(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d t} [3 t {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.2

चूंकि $3$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $3 t {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d t} [t {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ है.

$3 \frac{d}{d t} [t {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ है, जहाँ $f (t) = t$ और $g (t) = {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ है.

$3 (t \frac{d}{d t} [{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ और $g (t) = 9 - t^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $9 - t^{2}$ के रूप में सेट करें.

$3 (t (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [9 - t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$3 (t (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [9 - t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $9 - t^{2}$ से बदलें.

$3 (t (\frac{1}{2} {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [9 - t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$3 (t (\frac{1}{2} {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [9 - t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 5

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$3 (t (\frac{1}{2} {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [9 - t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$3 (t (\frac{1}{2} {(9 - t^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [9 - t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$3 (t (\frac{1}{2} {(9 - t^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [9 - t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 7.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$3 (t (\frac{1}{2} {(9 - t^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [9 - t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 8

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$3 (t (\frac{1}{2} {(9 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [9 - t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 8.2

$\frac{1}{2}$ और ${(9 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$3 (t (\frac{{(9 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [9 - t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 8.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(9 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$3 (t (\frac{1}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [9 - t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 8.4

$\frac{1}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ और $t$ को मिलाएं.

$3 (\frac{t}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [9 - t^{2}] + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 9

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $9 - t^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [9] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ है.

$3 (\frac{t}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [9] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 10

चूंकि $t$ के संबंध में $9$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $9$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 (\frac{t}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d t} [- t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 11

$0$ और $\frac{d}{d t} [- t^{2}]$ जोड़ें.

$3 (\frac{t}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- t^{2}] + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 12

चूंकि $- 1$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $- t^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ है.

$3 (\frac{t}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d t} [t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 13

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$3 (\frac{t}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 t)) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 14

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$3 (\frac{t}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 t) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 14.2

$- 2$ और $\frac{t}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$3 (\frac{- 2 t}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} t + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 14.3

$\frac{- 2 t}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ और $t$ को मिलाएं.

$3 (\frac{- 2 t \cdot t}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 15

$t$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$3 (\frac{- 2 (t^{1} t)}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 16

$t$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$3 (\frac{- 2 (t^{1} t^{1})}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 17

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$3 (\frac{- 2 t^{1 + 1}}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 18

$1$ और $1$ जोड़ें.

$3 (\frac{- 2 t^{2}}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 19

$- 2 t^{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$3 (\frac{2 (- t^{2})}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 20

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.1

$2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$3 (\frac{2 (- t^{2})}{2 ({(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 20.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$3 (\frac{2 (- t^{2})}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 20.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$3 (\frac{- t^{2}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 21

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$3 (- \frac{t^{2}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 22

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 (- \frac{t^{2}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

चरण 23

${(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$3 (- \frac{t^{2}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}})$

चरण 24

${(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$3 (- \frac{t^{2}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

चरण 25

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$3 \frac{- t^{2} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 26

घातांक जोड़कर ${(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ को ${(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 26.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$3 \frac{- t^{2} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 26.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$3 \frac{- t^{2} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 26.3

$1$ और $1$ जोड़ें.

$3 \frac{- t^{2} + {(9 - t^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 26.4

$2$ को $2$ से विभाजित करें.

$3 \frac{- t^{2} + {(9 - t^{2})}^{1}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 27

${(9 - t^{2})}^{1}$ को सरल करें.

$3 \frac{- t^{2} + 9 - t^{2}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 28

$- t^{2}$ में से $t^{2}$ घटाएं.

$3 \frac{- 2 t^{2} + 9}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 29

$3$ और $\frac{- 2 t^{2} + 9}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$\frac{3 (- 2 t^{2} + 9)}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 30

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 30.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{3 (- 2 t^{2}) + 3 \cdot 9}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 30.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 30.2.1

$- 2$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{- 6 t^{2} + 3 \cdot 9}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 30.2.2

$3$ को $9$ से गुणा करें.

$\frac{- 6 t^{2} + 27}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 30.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{- 6 t^{2} + 27}{{(- t^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$