कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = a x^{2} + b x + c$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $a x^{2} + b x + c$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$ है.

$\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

चरण 1.1.2

$\frac{d}{d x} [a x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चूंकि $a$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $a x^{2}$ का व्युत्पन्न $a \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$a \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$a (2 x) + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

चरण 1.1.2.3

$2$ को $a$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 a x + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [b x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $b$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $b x$ का व्युत्पन्न $b \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 a x + b \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [c]$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 a x + b \cdot 1 + \frac{d}{d x} [c]$

चरण 1.1.3.3

$b$ को $1$ से गुणा करें.

$2 a x + b + \frac{d}{d x} [c]$

चरण 1.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $c$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $c$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 a x + b + 0$

चरण 1.1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.1

$2 a x + b$ और $0$ जोड़ें.

$2 a x + b$

चरण 1.1.5.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f' (x) = b + 2 a x$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $b + 2 a x$ है.

$b + 2 a x$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $b + 2 a x = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$b + 2 a x = 0$

चरण 2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $b$ घटाएं.

$2 a x = - b$

चरण 2.3

$2 a x = - b$ के प्रत्येक पद को $2 a$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$2 a x = - b$ के प्रत्येक पद को $2 a$ से विभाजित करें.

$\frac{2 a x}{2 a} = \frac{- b}{2 a}$

चरण 2.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 a x}{2 a} = \frac{- b}{2 a}$

चरण 2.3.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{a x}{a} = \frac{- b}{2 a}$

चरण 2.3.2.2

$a$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{a x}{a} = \frac{- b}{2 a}$

चरण 2.3.2.2.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{- b}{2 a}$

चरण 2.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x = - \frac{b}{2 a}$

चरण 3

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

चरण 4

प्रत्येक $x$ मान पर $a x^{2} + b x + c$ का मूल्यांकन करें जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x = - \frac{b}{2 a}$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$- \frac{b}{2 a}$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$a {(- \frac{b}{2 a})}^{2} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

चरण 4.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.1

घातांक वितरण करने के लिए घात नियम ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.1.1

उत्पाद नियम को $- \frac{b}{2 a}$ पर लागू करें.

$a ({(- 1)}^{2} {(\frac{b}{2 a})}^{2}) + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

चरण 4.1.2.1.1.2

उत्पाद नियम को $\frac{b}{2 a}$ पर लागू करें.

$a ({(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{{(2 a)}^{2}}) + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

चरण 4.1.2.1.1.3

उत्पाद नियम को $2 a$ पर लागू करें.

$a ({(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{2^{2} a^{2}}) + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

चरण 4.1.2.1.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

${(- 1)}^{2} a \frac{b^{2}}{2^{2} a^{2}} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

चरण 4.1.2.1.3

$a$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.3.1

${(- 1)}^{2} a$ में से $a$ का गुणनखंड करें.

$a {(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{2^{2} a^{2}} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

चरण 4.1.2.1.3.2

$2^{2} a^{2}$ में से $a$ का गुणनखंड करें.

$a {(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{a (2^{2} a)} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

चरण 4.1.2.1.3.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$a {(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{a (2^{2} a)} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

चरण 4.1.2.1.3.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

${(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{2^{2} a} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

चरण 4.1.2.1.4

${(- 1)}^{2}$ और $\frac{b^{2}}{2^{2} a}$ को मिलाएं.

$\frac{{(- 1)}^{2} b^{2}}{2^{2} a} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

चरण 4.1.2.1.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.5.1

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1 b^{2}}{2^{2} a} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

चरण 4.1.2.1.5.2

$b^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{b^{2}}{2^{2} a} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

चरण 4.1.2.1.6

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{b^{2}}{4 a} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

चरण 4.1.2.1.7

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{b^{2}}{4 a} - b \frac{b}{2 a} + c$

चरण 4.1.2.1.8

$- b \frac{b}{2 a}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.8.1

$\frac{b}{2 a}$ और $b$ को मिलाएं.

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b \cdot b}{2 a} + c$

चरण 4.1.2.1.8.2

$b$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{1} b}{2 a} + c$

चरण 4.1.2.1.8.3

$b$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{1} b^{1}}{2 a} + c$

चरण 4.1.2.1.8.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{1 + 1}}{2 a} + c$

चरण 4.1.2.1.8.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{2}}{2 a} + c$

चरण 4.1.2.2

$- \frac{b^{2}}{2 a}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{2}}{2 a} \cdot \frac{2}{2} + c$

चरण 4.1.2.3

प्रत्येक व्यंजक को $4 a$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.3.1

$\frac{b^{2}}{2 a}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{2} \cdot 2}{2 a \cdot 2} + c$

चरण 4.1.2.3.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{2} \cdot 2}{4 a} + c$

चरण 4.1.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{b^{2} - b^{2} \cdot 2}{4 a} + c$

चरण 4.1.2.5

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.5.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.5.1.1

$b^{2} - b^{2} \cdot 2$ में से $b^{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.5.1.1.1

$1$ से गुणा करें.

$\frac{b^{2} \cdot 1 - b^{2} \cdot 2}{4 a} + c$

चरण 4.1.2.5.1.1.2

$- b^{2} \cdot 2$ में से $b^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{b^{2} \cdot 1 + b^{2} (- 1 \cdot 2)}{4 a} + c$

चरण 4.1.2.5.1.1.3

$b^{2} \cdot 1 + b^{2} (- 1 \cdot 2)$ में से $b^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{b^{2} (1 - 1 \cdot 2)}{4 a} + c$

चरण 4.1.2.5.1.2

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{b^{2} (1 - 2)}{4 a} + c$

चरण 4.1.2.5.1.3

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{b^{2} \cdot - 1}{4 a} + c$

चरण 4.1.2.5.2

$- 1$ को $b^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{- 1 \cdot b^{2}}{4 a} + c$

चरण 4.1.2.5.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{b^{2}}{4 a} + c$

चरण 4.2

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(- \frac{b}{2 a}, - \frac{b^{2}}{4 a} + c)$

चरण 5