कैलकुलस उदाहरण

$\ln (5) + \frac{1}{2} \cdot \ln (x + 3) - 3 \ln (1 + \sqrt{x})$

चरण 1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$\frac{1}{2}$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $\frac{1}{2} \ln (x + 3)$ को सरल करें.

$\ln (5) + \ln ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}}) - 3 \ln (1 + \sqrt{x})$

चरण 1.2

$3$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $- 3 \ln (1 + \sqrt{x})$ को सरल करें.

$\ln (5) + \ln ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}}) - \ln ({(1 + \sqrt{x})}^{3})$

चरण 2

लघुगणक की गुणनफल गुणधर्म, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ का उपयोग करें.

$\ln (5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}) - \ln ({(1 + \sqrt{x})}^{3})$

चरण 3

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \sqrt{x})}^{3}})$

चरण 4

द्विपद प्रमेय का प्रयोग करें.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1^{3} + 3 \cdot 1^{2} \sqrt{x} + 3 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{2} + {\sqrt{x}}^{3}})$

चरण 5

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \cdot 1^{2} \sqrt{x} + 3 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{2} + {\sqrt{x}}^{3}})$

चरण 5.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \cdot 1 \sqrt{x} + 3 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{2} + {\sqrt{x}}^{3}})$

चरण 5.3

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \sqrt{x} + 3 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{2} + {\sqrt{x}}^{3}})$

चरण 5.4

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \sqrt{x} + 3 {\sqrt{x}}^{2} + {\sqrt{x}}^{3}})$

चरण 5.5

${\sqrt{x}}^{2}$ को $x$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \sqrt{x} + 3 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{x}}^{3}})$

चरण 5.5.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \sqrt{x} + 3 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{x}}^{3}})$

चरण 5.5.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \sqrt{x} + 3 x^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{x}}^{3}})$

चरण 5.5.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \sqrt{x} + 3 x^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{x}}^{3}})$

चरण 5.5.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \sqrt{x} + 3 x^{1} + {\sqrt{x}}^{3}})$

चरण 5.5.5

सरल करें.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \sqrt{x} + 3 x + {\sqrt{x}}^{3}})$

चरण 5.6

${\sqrt{x}}^{3}$ को $\sqrt{x^{3}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \sqrt{x} + 3 x + \sqrt{x^{3}}})$

चरण 5.7

$x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \sqrt{x} + 3 x + \sqrt{x^{2} x}})$

चरण 5.8

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \sqrt{x} + 3 x + x \sqrt{x}})$

चरण 6

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 x^{\frac{1}{2}} + 3 x + x \sqrt{x}})$

चरण 6.2

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 x^{\frac{1}{2}} + 3 x + x \cdot x^{\frac{1}{2}}})$

चरण 6.3

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

$x$ को $x^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 x^{\frac{1}{2}} + 3 x + x^{1} x^{\frac{1}{2}}})$

चरण 6.3.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 x^{\frac{1}{2}} + 3 x + x^{1 + \frac{1}{2}}})$

चरण 6.3.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 x^{\frac{1}{2}} + 3 x + x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}})$

चरण 6.3.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 x^{\frac{1}{2}} + 3 x + x^{\frac{2 + 1}{2}}})$

चरण 6.3.4

$2$ और $1$ जोड़ें.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 x^{\frac{1}{2}} + 3 x + x^{\frac{3}{2}}})$

चरण 6.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x + 3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} + 1})$

चरण 6.5

$3 x + 3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} + 1$ को गुणनखंड रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1

$3 x + 3 x^{\frac{1}{2}}$ में से $3 x^{\frac{1}{2}}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1.1

$3 x$ में से $3 x^{\frac{1}{2}}$ का गुणनखंड करें.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}}) + 3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} + 1})$

चरण 6.5.1.2

$3 x^{\frac{1}{2}}$ में से $3 x^{\frac{1}{2}}$ का गुणनखंड करें.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}}) + 3 x^{\frac{1}{2}} (1) + x^{\frac{3}{2}} + 1})$

चरण 6.5.1.3

$3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}}) + 3 x^{\frac{1}{2}} (1)$ में से $3 x^{\frac{1}{2}}$ का गुणनखंड करें.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1) + x^{\frac{3}{2}} + 1})$

चरण 6.5.2

$x^{\frac{3}{2}}$ को ${(x^{\frac{1}{2}})}^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1) + {(x^{\frac{1}{2}})}^{3} + 1})$

चरण 6.5.3

$1$ को $1^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1) + {(x^{\frac{1}{2}})}^{3} + 1^{3}})$

चरण 6.5.4

चूंकि दोनों पद पूर्ण घन हैं, घन सूत्र के योग का उपयोग करके गुणनखंड करें, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ जहाँ $a = x^{\frac{1}{2}}$ और $b = 1$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1) + (x^{\frac{1}{2}} + 1) ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^{2})})$

चरण 6.5.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.5.1

घातांक को ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.5.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1) + (x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^{2})})$

चरण 6.5.5.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.5.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1) + (x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^{2})})$

चरण 6.5.5.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1) + (x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{1} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^{2})})$

चरण 6.5.5.2

सरल करें.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1) + (x^{\frac{1}{2}} + 1) (x - x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^{2})})$

चरण 6.5.5.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1) + (x^{\frac{1}{2}} + 1) (x - x^{\frac{1}{2}} + 1^{2})})$

चरण 6.5.5.4

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1) + (x^{\frac{1}{2}} + 1) (x - x^{\frac{1}{2}} + 1)})$

चरण 6.5.6

$3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1) + (x^{\frac{1}{2}} + 1) (x - x^{\frac{1}{2}} + 1)$ में से $x^{\frac{1}{2}} + 1$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.6.1

$3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1)$ में से $x^{\frac{1}{2}} + 1$ का गुणनखंड करें.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (3 x^{\frac{1}{2}}) + (x^{\frac{1}{2}} + 1) (x - x^{\frac{1}{2}} + 1)})$

चरण 6.5.6.2

$(x^{\frac{1}{2}} + 1) (3 x^{\frac{1}{2}}) + (x^{\frac{1}{2}} + 1) (x - x^{\frac{1}{2}} + 1)$ में से $x^{\frac{1}{2}} + 1$ का गुणनखंड करें.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (3 x^{\frac{1}{2}} + x - x^{\frac{1}{2}} + 1)})$

चरण 6.5.7

$3 x^{\frac{1}{2}}$ में से $x^{\frac{1}{2}}$ घटाएं.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (x + 2 x^{\frac{1}{2}} + 1)})$

चरण 6.5.8

$x$ को ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 x^{\frac{1}{2}} + 1)})$

चरण 6.5.9

मान लीजिए $u = x^{\frac{1}{2}}$ . $x^{\frac{1}{2}}$ की सभी घटनाओं के लिए $u$ को प्रतिस्थापित करें.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (u^{2} + 2 u + 1)})$

चरण 6.5.10

पूर्ण वर्ग नियम का उपयोग करके गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.10.1

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (u^{2} + 2 u + 1^{2})})$

चरण 6.5.10.2

जाँच करें कि मध्य पद पहले पद और तीसरे पद में वर्गीकृत की जा रही संख्याओं के गुणनफल का दोगुना है.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

चरण 6.5.10.3

बहुपद को फिर से लिखें.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2})})$

चरण 6.5.10.4

पूर्ण वर्ग त्रिपद नियम $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ का उपयोग करके गुणनखंड करें, जहाँ $a = u$ और $b = 1$ है.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) {(u + 1)}^{2}})$

चरण 6.5.11

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{\frac{1}{2}}$ से बदलें.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}})$

चरण 7

घातांक जोड़कर $x^{\frac{1}{2}} + 1$ को ${(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$x^{\frac{1}{2}} + 1$ को ${(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

$x^{\frac{1}{2}} + 1$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{1} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}})$

चरण 7.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{1 + 2}})$

चरण 7.2

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}})$