कैलकुलस उदाहरण

$y^{2} = \frac{1}{1 - x^{2}}$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{1 - x^{2}})$

चरण 2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

चरण 2.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

चरण 2.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 y y'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{1}{1 - x^{2}}$ को ${(1 - x^{2})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{- 1}]$

चरण 3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 1}$ और $g (x) = 1 - x^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $1 - x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

चरण 3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

चरण 3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $1 - x^{2}$ से बदलें.

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

चरण 3.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 - x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ है.

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

चरण 3.3.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

चरण 3.3.3

$0$ और $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ जोड़ें.

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 3.3.4

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 3.3.5

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.5.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 {(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 3.3.5.2

${(1 - x^{2})}^{- 2}$ को $1$ से गुणा करें.

${(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 3.3.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

${(1 - x^{2})}^{- 2} (2 x)$

चरण 3.3.7

$2$ को ${(1 - x^{2})}^{- 2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 \cdot {(1 - x^{2})}^{- 2} x$

चरण 3.4

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{2}} x$

चरण 3.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1.1

$2$ और $\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{{(1 - x^{2})}^{2}} x$

चरण 3.5.1.2

$\frac{2}{{(1 - x^{2})}^{2}}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3.5.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$2 y y' = \frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 5

$2 y y' = \frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$ के प्रत्येक पद को $2 y$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$2 y y' = \frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$ के प्रत्येक पद को $2 y$ से विभाजित करें.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}}{2 y}$

चरण 5.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}}{2 y}$

चरण 5.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}}{2 y}$

चरण 5.2.2

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}}{2 y}$

चरण 5.2.2.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}}{2 y}$

चरण 5.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$y' = \frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{2 y}$

चरण 5.3.2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

जोड़ना.

$y' = \frac{2 x \cdot 1}{{(- x^{2} + 1)}^{2} (2 y)}$

चरण 5.3.2.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = \frac{2 x \cdot 1}{{(- x^{2} + 1)}^{2} (2 y)}$

चरण 5.3.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = \frac{x \cdot 1}{{(- x^{2} + 1)}^{2} (y)}$

चरण 5.3.2.3

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$y' = \frac{x}{{(- x^{2} + 1)}^{2} y}$

चरण 5.3.3

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y' = \frac{x}{{(- x^{2} + 1^{2})}^{2} y}$

चरण 5.3.3.2

$- x^{2}$ और $1^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$y' = \frac{x}{{(1^{2} - x^{2})}^{2} y}$

चरण 5.3.3.3

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = 1$ और $b = x$ .

$y' = \frac{x}{{((1 + x) (1 - x))}^{2} y}$

चरण 5.3.3.4

उत्पाद नियम को $(1 + x) (1 - x)$ पर लागू करें.

$y' = \frac{x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} y}$

चरण 5.3.4

गुणनखंडों को $\frac{x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} y}$ में पुन: क्रमित करें.

$y' = \frac{x}{y {(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

चरण 6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y {(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$