कैलकुलस उदाहरण

$\sin^{5} (x)$

चरण 1

$\sin^{5} (x)$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = \sin^{5} (x)$

चरण 2

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 3

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int \sin^{5} (x) d x$

चरण 4

$\sin^{4} (x)$ का गुणनखंड करें.

$\int \sin^{4} (x) \sin (x) d x$

चरण 5

गुणनखंड निकालकर सरलीकृत करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\int {\sin (x)}^{2 (2)} \sin (x) d x$

चरण 5.2

${\sin (x)}^{2 (2)}$ को घातांक के रूप में फिर से लिखें.

$\int {(\sin^{2} (x))}^{2} \sin (x) d x$

चरण 6

पाइथागोरस पहचान का उपयोग करते हुए, $\sin^{2} (x)$ को $1 - \cos^{2} (x)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int {(1 - \cos^{2} (x))}^{2} \sin (x) d x$

चरण 7

मान लीजिए $u = \cos (x)$ .फिर $d u = - \sin (x) d x$ , तो $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

मान लें $u = \cos (x)$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

$\cos (x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

चरण 7.1.2

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$- \sin (x)$

चरण 7.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int - {(1 - u^{2})}^{2} d u$

चरण 8

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \int {(1 - u^{2})}^{2} d u$

चरण 9

${(1 - u^{2})}^{2}$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

${(1 - u^{2})}^{2}$ को $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \int (1 - u^{2}) (1 - u^{2}) d u$

चरण 9.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- \int 1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

चरण 9.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- \int 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

चरण 9.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- \int 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2}) d u$

चरण 9.5

$u^{2}$ ले जाएं.

$- \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - u^{2} (- u^{2}) d u$

चरण 9.6

$u^{2}$ ले जाएं.

$- \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

चरण 9.7

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$- \int 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

चरण 9.8

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- \int 1 - u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

चरण 9.9

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

चरण 9.10

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} + 1 u^{2} u^{2} d u$

चरण 9.11

$u^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

चरण 9.12

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

चरण 9.13

$2$ और $2$ जोड़ें.

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{4} d u$

चरण 9.14

$- u^{2}$ में से $u^{2}$ घटाएं.

$- \int 1 - 2 u^{2} + u^{4} d u$

चरण 9.15

$- 2 u^{2}$ और $u^{4}$ को पुन: क्रमित करें.

$- \int 1 + u^{4} - 2 u^{2} d u$

चरण 9.16

$1$ ले जाएं.

$- \int u^{4} - 2 u^{2} + 1 d u$

चरण 10

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$- (\int u^{4} d u + \int - 2 u^{2} d u + \int d u)$

चरण 11

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{4}$ का समाकलन $\frac{1}{5} u^{5}$ है.

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C + \int - 2 u^{2} d u + \int d u)$

चरण 12

चूँकि $- 2$ बटे $u$ अचर है, $- 2$ को समाकलन से हटा दें.

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 \int u^{2} d u + \int d u)$

चरण 13

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} u^{3}$ है.

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int d u)$

चरण 14

स्थिरांक नियम लागू करें.

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C)$

चरण 15

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1.1

$\frac{1}{3}$ और $u^{3}$ को मिलाएं.

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C)$

चरण 15.1.2

$\frac{1}{5}$ और $u^{5}$ को मिलाएं.

$- (\frac{u^{5}}{5} + C - 2 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C)$

चरण 15.2

सरल करें.

$- (\frac{u^{5}}{5} - \frac{2 u^{3}}{3} + u) + C$

चरण 16

$u$ की सभी घटनाओं को $\cos (x)$ से बदलें.

$- (\frac{\cos^{5} (x)}{5} - \frac{2 \cos^{3} (x)}{3} + \cos (x)) + C$

चरण 17

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- (\frac{1}{5} \cos^{5} (x) - \frac{2}{3} \cos^{3} (x) + \cos (x)) + C$

चरण 18

उत्तर फलन $f (x) = \sin^{5} (x)$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $- (\frac{1}{5} \cos^{5} (x) - \frac{2}{3} \cos^{3} (x) + \cos (x)) + C$