कैलकुलस उदाहरण

$\arctan (\frac{x}{2})$

चरण 1

$\arctan (\frac{x}{2})$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = \arctan (\frac{x}{2})$

चरण 2

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 3

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int \arctan (\frac{x}{2}) d x$

चरण 4

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \arctan (\frac{x}{2})$ और $d v = 1$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\arctan (\frac{x}{2}) x - \int x \frac{2}{x^{2} + 4} d x$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$x$ और $\frac{2}{x^{2} + 4}$ को मिलाएं.

$\arctan (\frac{x}{2}) x - \int \frac{x \cdot 2}{x^{2} + 4} d x$

चरण 5.2

$2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\arctan (\frac{x}{2}) x - \int \frac{2 x}{x^{2} + 4} d x$

चरण 6

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$\arctan (\frac{x}{2}) x - (2 \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x)$

चरण 7

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\arctan (\frac{x}{2}) x - 2 \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x$

चरण 8

मान लीजिए $u = x^{2} + 4$ .फिर $d u = 2 x d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

मान लें $u = x^{2} + 4$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

$x^{2} + 4$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

चरण 8.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 8.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 8.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 x + 0$

चरण 8.1.5

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$2 x$

चरण 8.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\arctan (\frac{x}{2}) x - 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\arctan (\frac{x}{2}) x - 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

चरण 9.2

$2$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\arctan (\frac{x}{2}) x - 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

चरण 10

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\arctan (\frac{x}{2}) x - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

चरण 11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$\frac{1}{2}$ और $- 2$ को मिलाएं.

$\arctan (\frac{x}{2}) x + \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 11.2

$- 2$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\arctan (\frac{x}{2}) x + \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 11.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\arctan (\frac{x}{2}) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 11.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\arctan (\frac{x}{2}) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 11.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\arctan (\frac{x}{2}) x + \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 11.2.2.4

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$\arctan (\frac{x}{2}) x - \int \frac{1}{u} d u$

चरण 12

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\arctan (\frac{x}{2}) x - (\ln (| u |) + C)$

चरण 13

$\arctan (\frac{x}{2}) x - (\ln (| u |) + C)$ को $\arctan (\frac{1}{2} x) x - \ln (| u |) + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\arctan (\frac{1}{2} x) x - \ln (| u |) + C$

चरण 14

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + 4$ से बदलें.

$\arctan (\frac{1}{2} x) x - \ln (| x^{2} + 4 |) + C$

चरण 15

उत्तर फलन $f (x) = \arctan (\frac{x}{2})$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $\arctan (\frac{1}{2} x) x - \ln (| x^{2} + 4 |) + C$