कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = e^{7 x} + 5 \sec^{2} (3 x)$

चरण 1

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 2

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int e^{7 x} + 5 \sec^{2} (3 x) d x$

चरण 3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int e^{7 x} d x + \int 5 \sec^{2} (3 x) d x$

चरण 4

मान लीजिए $u_{1} = 7 x$ .फिर $d u_{1} = 7 d x$ , तो $\frac{1}{7} d u_{1} = d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मान लें $u_{1} = 7 x$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$7 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [7 x]$

चरण 4.1.2

चूंकि $7$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $7 x$ का व्युत्पन्न $7 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$7 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 4.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$7 \cdot 1$

चरण 4.1.4

$7$ को $1$ से गुणा करें.

$7$

चरण 4.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{7} d u_{1} + \int 5 \sec^{2} (3 x) d x$

चरण 5

$e^{u_{1}}$ और $\frac{1}{7}$ को मिलाएं.

$\int \frac{e^{u_{1}}}{7} d u_{1} + \int 5 \sec^{2} (3 x) d x$

चरण 6

चूँकि $\frac{1}{7}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{7}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{7} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 5 \sec^{2} (3 x) d x$

चरण 7

$u_{1}$ के संबंध में $e^{u_{1}}$ का इंटीग्रल $e^{u_{1}}$ है.

$\frac{1}{7} (e^{u_{1}} + C) + \int 5 \sec^{2} (3 x) d x$

चरण 8

चूँकि $5$ बटे $x$ अचर है, $5$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{7} (e^{u_{1}} + C) + 5 \int \sec^{2} (3 x) d x$

चरण 9

मान लीजिए $u_{2} = 3 x$ .फिर $d u_{2} = 3 d x$ , तो $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

मान लें $u_{2} = 3 x$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$3 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [3 x]$

चरण 9.1.2

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 9.1.3

$3 \cdot 1$

चरण 9.1.4

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$3$

चरण 9.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{7} (e^{u_{1}} + C) + 5 \int \sec^{2} (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

चरण 10

$\sec^{2} (u_{2})$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{7} (e^{u_{1}} + C) + 5 \int \frac{\sec^{2} (u_{2})}{3} d u_{2}$

चरण 11

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{7} (e^{u_{1}} + C) + 5 (\frac{1}{3} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2})$

चरण 12

$\frac{1}{3}$ और $5$ को मिलाएं.

$\frac{1}{7} (e^{u_{1}} + C) + \frac{5}{3} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

चरण 13

चूंकि $\tan (u_{2})$ का व्युत्पन्न $\sec^{2} (u_{2})$ है, $\sec^{2} (u_{2})$ का समाकलन $\tan (u_{2})$ है.

$\frac{1}{7} (e^{u_{1}} + C) + \frac{5}{3} (\tan (u_{2}) + C)$

चरण 14

सरल करें.

$\frac{1}{7} e^{u_{1}} + \frac{5}{3} \tan (u_{2}) + C$

चरण 15

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $7 x$ से बदलें.

$\frac{1}{7} e^{7 x} + \frac{5}{3} \tan (u_{2}) + C$

चरण 15.2

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $3 x$ से बदलें.

$\frac{1}{7} e^{7 x} + \frac{5}{3} \tan (3 x) + C$

चरण 16

उत्तर फलन $f (x) = e^{7 x} + 5 \sec^{2} (3 x)$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $\frac{1}{7} e^{7 x} + \frac{5}{3} \tan (3 x) + C$