कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = (π + e^{\cot (π x)}) \csc^{2} (π x)$

चरण 1

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 2

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int (π + e^{\cot (π x)}) \csc^{2} (π x) d x$

चरण 3

मान लीजिए $u_{2} = \cot (π x)$ .फिर $d u_{2} = - π \csc^{2} (π x) d x$ , तो $- \frac{1}{π} d u_{2} = \csc^{2} (π x) d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

मान लें $u_{2} = \cot (π x)$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$\cot (π x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\cot (π x)]$

चरण 3.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cot (x)$ और $g (x) = π x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $π x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\cot (u_{1})] \frac{d}{d x} [π x]$

चरण 3.1.2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\cot (u_{1})$ का व्युत्पन्न $- \csc^{2} (u_{1})$ है.

$- \csc^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [π x]$

चरण 3.1.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $π x$ से बदलें.

$- \csc^{2} (π x) \frac{d}{d x} [π x]$

चरण 3.1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.3.1

चूंकि $π$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $π x$ का व्युत्पन्न $π \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- \csc^{2} (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- \csc^{2} (π x) (π \cdot 1)$

चरण 3.1.3.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.3.3.1

$π$ को $1$ से गुणा करें.

$- \csc^{2} (π x) π$

चरण 3.1.3.3.2

$- \csc^{2} (π x) π$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$- π \csc^{2} (π x)$

चरण 3.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int (- π - e^{u_{2}}) \frac{- 1}{- π} d u_{2}$

चरण 4

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\int (- π - e^{u_{2}}) \frac{1}{π} d u_{2}$

चरण 5

चूँकि $\frac{1}{π}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{π}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{π} \int - π - e^{u_{2}} d u_{2}$

चरण 6

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{1}{π} (\int - π d u_{2} + \int - e^{u_{2}} d u_{2})$

चरण 7

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{π} (- π u_{2} + C + \int - e^{u_{2}} d u_{2})$

चरण 8

चूँकि $- 1$ बटे $u_{2}$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{π} (- π u_{2} + C - \int e^{u_{2}} d u_{2})$

चरण 9

$u_{2}$ के संबंध में $e^{u_{2}}$ का इंटीग्रल $e^{u_{2}}$ है.

$\frac{1}{π} (- π u_{2} + C - (e^{u_{2}} + C))$

चरण 10

सरल करें.

$\frac{1}{π} (- π u_{2} - e^{u_{2}}) + C$

चरण 11

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\cot (π x)$ से बदलें.

$\frac{1}{π} (- π \cot (π x) - e^{\cot (π x)}) + C$

चरण 12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{π} (- π \cot (π x)) + \frac{1}{π} (- e^{\cot (π x)}) + C$

चरण 12.2

$π$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.1

$- π \cot (π x)$ में से $π$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{π} (π (- \cot (π x))) + \frac{1}{π} (- e^{\cot (π x)}) + C$

चरण 12.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{π} (π (- \cot (π x))) + \frac{1}{π} (- e^{\cot (π x)}) + C$

चरण 12.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \cot (π x) + \frac{1}{π} (- e^{\cot (π x)}) + C$

चरण 12.3

$\frac{1}{π}$ और $e^{\cot (π x)}$ को मिलाएं.

$- \cot (π x) - \frac{e^{\cot (π x)}}{π} + C$

चरण 13

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- \cot (π x) - \frac{1}{π} e^{\cot (π x)} + C$

चरण 14

उत्तर फलन $f (x) = (π + e^{\cot (π x)}) \csc^{2} (π x)$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $- \cot (π x) - \frac{1}{π} e^{\cot (π x)} + C$