कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{1}{4} \cdot \sin^{2} (2 x)$

चरण 1

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 2

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int \frac{1}{4} \cdot \sin^{2} (2 x) d x$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{4} \int \sin^{2} (2 x) d x$

चरण 4

मान लीजिए $u_{1} = 2 x$ .फिर $d u_{1} = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मान लें $u_{1} = 2 x$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 4.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 4.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 4.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 4.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{4} \int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 5

$\sin^{2} (u_{1})$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{4} \int \frac{\sin^{2} (u_{1})}{2} d u_{1}$

चरण 6

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{4}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 \cdot 4} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

चरण 7.2

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{1}{8} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

चरण 8

$\sin^{2} (u_{1})$ को $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए अर्ध-कोण सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{1}{8} \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

चरण 9

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{8} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

चरण 10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{8}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 \cdot 8} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

चरण 10.2

$2$ को $8$ से गुणा करें.

$\frac{1}{16} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

चरण 11

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{1}{16} (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

चरण 12

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{16} (u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

चरण 13

चूँकि $- 1$ बटे $u_{1}$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{16} (u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

चरण 14

मान लीजिए $u_{2} = 2 u_{1}$ .फिर $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , तो $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

मान लें $u_{2} = 2 u_{1}$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1.1

$2 u_{1}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

चरण 14.1.2

चूंकि $2$ , $u_{1}$ के संबंध में स्थिर है, $u_{1}$ के संबंध में $2 u_{1}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ है.

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

चरण 14.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 14.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 14.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{16} (u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

चरण 15

$\cos (u_{2})$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{16} (u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

चरण 16

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{16} (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

चरण 17

$u_{2}$ के संबंध में $\cos (u_{2})$ का इंटीग्रल $\sin (u_{2})$ है.

$\frac{1}{16} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

चरण 18

सरल करें.

$\frac{1}{16} (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

चरण 19

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.1

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

चरण 19.2

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $2 u_{1}$ से बदलें.

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

चरण 19.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{1}{2} \sin (2 (2 x))) + C$

चरण 20

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.1.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{1}{2} \sin (4 x)) + C$

चरण 20.1.2

$\sin (4 x)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

चरण 20.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{16} (2 x) + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

चरण 20.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.3.1

$16$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2 (8)} (2 x) + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

चरण 20.3.2

$2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2 (8)} (2 (x)) + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

चरण 20.3.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{2 \cdot 8} (2 x) + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

चरण 20.3.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{8} x + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

चरण 20.4

$\frac{1}{8}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{x}{8} + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

चरण 20.5

$\frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.5.1

$\frac{1}{16}$ को $\frac{\sin (4 x)}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{x}{8} - \frac{\sin (4 x)}{16 \cdot 2} + C$

चरण 20.5.2

$16$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{x}{8} - \frac{\sin (4 x)}{32} + C$

चरण 21

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{8} x - \frac{1}{32} \sin (4 x) + C$

चरण 22

उत्तर फलन $f (x) = \frac{1}{4} \cdot \sin^{2} (2 x)$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $\frac{1}{8} x - \frac{1}{32} \sin (4 x) + C$