कैलकुलस उदाहरण

$g (t) = \frac{1 + t + t^{2}}{\sqrt{t}}$

चरण 1

फलन $G (t)$ को व्युत्पन्न $g (t)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$G (t) = \int g (t) d t$

चरण 2

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$G (t) = \int \frac{1 + t + t^{2}}{\sqrt{t}} d t$

चरण 3

$\sqrt{t}$ को $t^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\int \frac{1 + t + t^{2}}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

चरण 4

$t^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\int (1 + t + t^{2}) {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d t$

चरण 5

घातांक को ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 + t + t^{2}) t^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d t$

चरण 5.2

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$\int (1 + t + t^{2}) t^{\frac{- 1}{2}} d t$

चरण 5.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\int (1 + t + t^{2}) t^{- \frac{1}{2}} d t$

चरण 6

$(1 + t + t^{2}) t^{- \frac{1}{2}}$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int (1 + t) t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

चरण 6.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int 1 t^{- \frac{1}{2}} + t \cdot t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

चरण 6.3

$t^{- \frac{1}{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t \cdot t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

चरण 6.4

$t$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{1} t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

चरण 6.5

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{1 - \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

चरण 6.6

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

चरण 6.7

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{2 - 1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

चरण 6.8

$2$ में से $1$ घटाएं.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

चरण 6.9

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{2 - \frac{1}{2}} d t$

चरण 6.10

$2$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} d t$

चरण 6.11

$2$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} d t$

चरण 6.12

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} d t$

चरण 6.13

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.13.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{4 - 1}{2}} d t$

चरण 6.13.2

$4$ में से $1$ घटाएं.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{3}{2}} d t$

चरण 7

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int t^{- \frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

चरण 8

घात नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $t^{- \frac{1}{2}}$ का समाकलन $2 t^{\frac{1}{2}}$ है.

$2 t^{\frac{1}{2}} + C + \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

चरण 9

घात नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $t^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ है.

$2 t^{\frac{1}{2}} + C + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

चरण 10

घात नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $t^{\frac{3}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ है.

$2 t^{\frac{1}{2}} + C + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

चरण 11

सरल करें.

$2 t^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

चरण 12

उत्तर फलन $g (t) = \frac{1 + t + t^{2}}{\sqrt{t}}$ का व्युत्पन्न है.

$G (t) =$ $2 t^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$