कैलकुलस उदाहरण

$lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} \sin (\frac{1}{x + h}) - x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

चरण 1

जैसे-जैसे $h$ $0$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} \sin (\frac{1}{x + h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

चरण 2

जैसे ही $h$ $0$ की ओर आ रहा है, उत्पाद सीमा नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} \sin (\frac{1}{x + h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

चरण 3

सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक $2$ को ${(x + h)}^{2}$ से सीमा से बाभाजक ले जाएं.

${(lim_{h \to 0} x + h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} \sin (\frac{1}{x + h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

चरण 4

${(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} \sin (\frac{1}{x + h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

चरण 5

$x$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $h$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

${(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} \sin (\frac{1}{x + h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

चरण 6

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि ज्या सतत है.

${(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot \sin (lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

चरण 7

जैसे ही $h$ $0$ की ओर आता है, सीमा भागफल नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

${(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot \sin (\frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

चरण 8

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $h$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

${(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot \sin (\frac{1}{lim_{h \to 0} x + h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

चरण 9

${(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot \sin (\frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

चरण 10

$x$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $h$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

${(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot \sin (\frac{1}{x + lim_{h \to 0} h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

चरण 11

$x^{2} \sin (\frac{1}{x})$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $h$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

${(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot \sin (\frac{1}{x + lim_{h \to 0} h}) - x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

चरण 12

$h$ की सभी घटनाओं के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके सीमा का मान ज्ञात करें.

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चरण 12.1

$h$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $h$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

${(x + 0)}^{2} \cdot \sin (\frac{1}{x + lim_{h \to 0} h}) - x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

चरण 12.2

$h$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $h$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

${(x + 0)}^{2} \cdot \sin (\frac{1}{x + 0}) - x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

चरण 13

उत्तर को सरल करें.

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चरण 13.1

${(x + 0)}^{2} \cdot \sin (\frac{1}{x + 0}) - x^{2} \sin (\frac{1}{x})$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

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चरण 13.1.1

$x$ और $0$ जोड़ें.

$x^{2} \cdot \sin (\frac{1}{x + 0}) - x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

चरण 13.1.2

$x$ और $0$ जोड़ें.

$x^{2} \cdot \sin (\frac{1}{x}) - x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

चरण 13.2

$x^{2} \sin (\frac{1}{x})$ में से $x^{2} \sin (\frac{1}{x})$ घटाएं.

$0$