कैलकुलस उदाहरण

$lim_{t \to 0} \frac{e^{t} - 1}{t^{7}}$

चरण 1

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

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चरण 1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{lim_{t \to 0} e^{t} - 1}{lim_{t \to 0} t^{7}}$

चरण 1.1.2

न्यूमेरेटर की सीमा का मान ज्ञात करें.

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चरण 1.1.2.1

सीमा का मूल्यांकन करें.

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चरण 1.1.2.1.1

जैसे-जैसे $t$ $0$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{lim_{t \to 0} e^{t} - lim_{t \to 0} 1}{lim_{t \to 0} t^{7}}$

चरण 1.1.2.1.2

सीमा को घातांक में ले जाएँ.

$\frac{e^{lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} 1}{lim_{t \to 0} t^{7}}$

चरण 1.1.2.1.3

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $t$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{e^{lim_{t \to 0} t} - 1 \cdot 1}{lim_{t \to 0} t^{7}}$

चरण 1.1.2.2

$t$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $t$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{t \to 0} t^{7}}$

चरण 1.1.2.3

उत्तर को सरल करें.

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चरण 1.1.2.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

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चरण 1.1.2.3.1.1

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{t \to 0} t^{7}}$

चरण 1.1.2.3.1.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1 - 1}{lim_{t \to 0} t^{7}}$

चरण 1.1.2.3.2

$1$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t^{7}}$

चरण 1.1.3

भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

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चरण 1.1.3.1

सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक $7$ को $t^{7}$ से सीमा से बाभाजक ले जाएं.

$\frac{0}{{(lim_{t \to 0} t)}^{7}}$

चरण 1.1.3.2

$t$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $t$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{0}{0^{7}}$

चरण 1.1.3.3

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{0}{0}$

चरण 1.1.3.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 1.1.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 1.2

चूंकि $\frac{0}{0}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{t \to 0} \frac{e^{t} - 1}{t^{7}} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [e^{t} - 1]}{\frac{d}{d t} [t^{7}]}$

चरण 1.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

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चरण 1.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [e^{t} - 1]}{\frac{d}{d t} [t^{7}]}$

चरण 1.3.2

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $e^{t} - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ है.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1]}{\frac{d}{d t} [t^{7}]}$

चरण 1.3.3

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ $a^{t} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$lim_{t \to 0} \frac{e^{t} + \frac{d}{d t} [- 1]}{\frac{d}{d t} [t^{7}]}$

चरण 1.3.4

चूंकि $t$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$lim_{t \to 0} \frac{e^{t} + 0}{\frac{d}{d t} [t^{7}]}$

चरण 1.3.5

$e^{t}$ और $0$ जोड़ें.

$lim_{t \to 0} \frac{e^{t}}{\frac{d}{d t} [t^{7}]}$

चरण 1.3.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 7$ है.

$lim_{t \to 0} \frac{e^{t}}{7 t^{6}}$

चरण 2

चूँकि न्यूमेरेटर धनात्मक है और भाजक $7 t^{6}$ शून्य की ओर एप्रोच करता है और दोनों पक्षों पर $0$ के पास $t$ के लिए शून्य से अधिक है, फलन बिना लिमिट के बढ़ता है.

$\infty$