कैलकुलस उदाहरण

$lim_{t \to 0} \frac{\sin (2 \sin (t))}{t}$

चरण 1

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

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चरण 1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{lim_{t \to 0} \sin (2 \sin (t))}{lim_{t \to 0} t}$

चरण 1.1.2

न्यूमेरेटर की सीमा का मान ज्ञात करें.

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चरण 1.1.2.1

सीमा का मूल्यांकन करें.

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चरण 1.1.2.1.1

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि ज्या सतत है.

$\frac{\sin (lim_{t \to 0} 2 \sin (t))}{lim_{t \to 0} t}$

चरण 1.1.2.1.2

$2$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $t$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{\sin (2 lim_{t \to 0} \sin (t))}{lim_{t \to 0} t}$

चरण 1.1.2.1.3

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि ज्या सतत है.

$\frac{\sin (2 \sin (lim_{t \to 0} t))}{lim_{t \to 0} t}$

चरण 1.1.2.2

$t$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $t$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{\sin (2 \sin (0))}{lim_{t \to 0} t}$

चरण 1.1.2.3

उत्तर को सरल करें.

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चरण 1.1.2.3.1

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{\sin (2 \cdot 0)}{lim_{t \to 0} t}$

चरण 1.1.2.3.2

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{\sin (0)}{lim_{t \to 0} t}$

चरण 1.1.2.3.3

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t}$

चरण 1.1.3

$t$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $t$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{0}{0}$

चरण 1.1.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 1.2

चूंकि $\frac{0}{0}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{t \to 0} \frac{\sin (2 \sin (t))}{t} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sin (2 \sin (t))]}{\frac{d}{d t} [t]}$

चरण 1.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

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चरण 1.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sin (2 \sin (t))]}{\frac{d}{d t} [t]}$

चरण 1.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = \sin (t)$ और $g (t) = 2 \sin (t)$ है.

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चरण 1.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 \sin (t)$ के रूप में सेट करें.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [2 \sin (t)]}{\frac{d}{d t} [t]}$

चरण 1.3.2.2

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का व्युत्पन्न $\cos (u)$ है.

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d t} [2 \sin (t)]}{\frac{d}{d t} [t]}$

चरण 1.3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 \sin (t)$ से बदलें.

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (2 \sin (t)) \frac{d}{d t} [2 \sin (t)]}{\frac{d}{d t} [t]}$

चरण 1.3.3

चूंकि $2$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $2 \sin (t)$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d t} [\sin (t)]$ है.

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (2 \sin (t)) (2 \frac{d}{d t} [\sin (t)])}{\frac{d}{d t} [t]}$

चरण 1.3.4

$2$ को $\cos (2 \sin (t))$ के बाईं ओर ले जाएं.

$lim_{t \to 0} \frac{2 \cdot \cos (2 \sin (t)) \frac{d}{d t} [\sin (t)]}{\frac{d}{d t} [t]}$

चरण 1.3.5

$t$ के संबंध में $\sin (t)$ का व्युत्पन्न $\cos (t)$ है.

$lim_{t \to 0} \frac{2 \cos (2 \sin (t)) \cos (t)}{\frac{d}{d t} [t]}$

चरण 1.3.6

$2 \cos (2 \sin (t)) \cos (t)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$lim_{t \to 0} \frac{2 \cos (t) \cos (2 \sin (t))}{\frac{d}{d t} [t]}$

चरण 1.3.7

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$lim_{t \to 0} \frac{2 \cos (t) \cos (2 \sin (t))}{1}$

चरण 1.4

$2 \cos (t) \cos (2 \sin (t))$ को $1$ से विभाजित करें.

$lim_{t \to 0} 2 \cos (t) \cos (2 \sin (t))$

चरण 2

सीमा का मूल्यांकन करें.

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चरण 2.1

$2$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $t$ के संबंध में स्थिर है.

$2 lim_{t \to 0} \cos (t) \cos (2 \sin (t))$

चरण 2.2

जैसे ही $t$ $0$ की ओर आ रहा है, उत्पाद सीमा नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$2 lim_{t \to 0} \cos (t) \cdot lim_{t \to 0} \cos (2 \sin (t))$

चरण 2.3

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि कोज्या सतत है.

$2 \cos (lim_{t \to 0} t) \cdot lim_{t \to 0} \cos (2 \sin (t))$

चरण 2.4

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि कोज्या सतत है.

$2 \cos (lim_{t \to 0} t) \cdot \cos (lim_{t \to 0} 2 \sin (t))$

चरण 2.5

$2$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $t$ के संबंध में स्थिर है.

$2 \cos (lim_{t \to 0} t) \cdot \cos (2 lim_{t \to 0} \sin (t))$

चरण 2.6

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि ज्या सतत है.

$2 \cos (lim_{t \to 0} t) \cdot \cos (2 \sin (lim_{t \to 0} t))$

चरण 3

$t$ की सभी घटनाओं के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके सीमा का मान ज्ञात करें.

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चरण 3.1

$t$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $t$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$2 \cos (0) \cdot \cos (2 \sin (lim_{t \to 0} t))$

चरण 3.2

$t$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $t$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$2 \cos (0) \cdot \cos (2 \sin (0))$

चरण 4

उत्तर को सरल करें.

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चरण 4.1

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$2 \cdot 1 \cdot \cos (2 \sin (0))$

चरण 4.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 \cdot \cos (2 \sin (0))$

चरण 4.3

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$2 \cdot \cos (2 \cdot 0)$

चरण 4.4

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$2 \cdot \cos (0)$

चरण 4.5

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 4.6

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$