कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\sin^{2} (3 x)}$

चरण 1

$\frac{1}{\sin^{2} (3 x)}$ को $\csc^{2} (3 x)$ में बदलें.

$lim_{x \to 0} x^{2} \csc^{2} (3 x)$

चरण 2

$x^{2} \csc^{2} (3 x)$ को $\frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (3 x)}$ के रूप में फिर से लिखें.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (3 x)}$

चरण 3

सीमा को बाईं ओर की सीमा के रूप में सेट करें.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (3 x)}$

चरण 4

बाईं ओर की सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{lim_{x \to 0^{-}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (3 x)}$

चरण 4.1.1.2

न्यूमेरेटर की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1.2.1

सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक $2$ को $x^{2}$ से सीमा से बाभाजक ले जाएं.

$\frac{{(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (3 x)}$

चरण 4.1.1.2.2

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (3 x)}$

चरण 4.1.1.2.3

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (3 x)}$

चरण 4.1.1.3

भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1.3.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\csc^{2} (3 x)}}$

चरण 4.1.1.3.2

चूँकि इसका न्यूमेरेटर एक वास्तविक संख्या तक पहुँचता है, जबकि इसका भाजक असीम होता है, इसलिए भिन्न $\frac{1}{\csc^{2} (3 x)}$ $0$ के करीब पहुंच जाता है.

$\frac{0}{0}$

चरण 4.1.1.3.3

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 4.1.1.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 4.1.2

चूंकि $\frac{0}{0}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (3 x)} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (3 x)]}$

चरण 4.1.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (3 x)]}$

चरण 4.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (3 x)]}$

चरण 4.1.3.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 2}$ और $g (x) = \csc (3 x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\csc (3 x)$ के रूप में सेट करें.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (3 x)]}$

चरण 4.1.3.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 2$ है.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 {u_{1}}^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (3 x)]}$

चरण 4.1.3.3.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\csc (3 x)$ से बदलें.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (3 x) \frac{d}{d x} [\csc (3 x)]}$

चरण 4.1.3.4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \csc (x)$ और $g (x) = 3 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $3 x$ के रूप में सेट करें.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])}$

चरण 4.1.3.4.2

$u_{2}$ के संबंध में $\csc (u_{2})$ का व्युत्पन्न $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ है.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (3 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])}$

चरण 4.1.3.4.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $3 x$ से बदलें.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (3 x) (- \csc (3 x) \cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

चरण 4.1.3.5

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 3} (3 x) (\csc (3 x) \cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

चरण 4.1.3.6

$\csc (3 x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 (\csc^{1} (3 x) \csc^{- 3} (3 x)) (\cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

चरण 4.1.3.7

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 {\csc (3 x)}^{1 - 3} (\cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

चरण 4.1.3.8

$1$ में से $3$ घटाएं.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (3 x) (\cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

चरण 4.1.3.9

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (3 x) \cot (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}$

चरण 4.1.3.10

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{6 \csc^{- 2} (3 x) \cot (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

चरण 4.1.3.11

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{6 \csc^{- 2} (3 x) \cot (3 x) \cdot 1}$

चरण 4.1.3.12

$6$ को $1$ से गुणा करें.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{6 \csc^{- 2} (3 x) \cot (3 x)}$

चरण 4.1.3.13

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.13.1

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\csc (3 x)$ को फिर से लिखें.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{6 {(\frac{1}{\sin (3 x)})}^{- 2} \cot (3 x)}$

चरण 4.1.3.13.2

आधार को उसके व्युत्क्रम के रूप में फिर से लिखकर घातांक के चिह्न को बदलें.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{6 \sin^{2} (3 x) \cot (3 x)}$

चरण 4.1.3.13.3

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\cot (3 x)$ को फिर से लिखें.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{6 \sin^{2} (3 x) \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}$

चरण 4.1.3.13.4

$\sin (3 x)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.13.4.1

$6 \sin^{2} (3 x)$ में से $\sin (3 x)$ का गुणनखंड करें.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\sin (3 x) (6 \sin (3 x)) \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}$

चरण 4.1.3.13.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\sin (3 x) (6 \sin (3 x)) \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}$

चरण 4.1.3.13.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{6 \sin (3 x) \cos (3 x)}$

चरण 4.1.4

$2$ और $6$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.4.1

$2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 (x)}{6 \sin (3 x) \cos (3 x)}$

चरण 4.1.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.4.2.1

$6 \sin (3 x) \cos (3 x)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 (x)}{2 (3 \sin (3 x) \cos (3 x))}$

चरण 4.1.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 (3 \sin (3 x) \cos (3 x))}$

चरण 4.1.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{3 \sin (3 x) \cos (3 x)}$

चरण 4.1.5

अलग-अलग भिन्न

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{3 \cos (3 x)} \cdot \frac{1}{\sin (3 x)}$

चरण 4.1.6

$\frac{1}{\sin (3 x)}$ को $\csc (3 x)$ में बदलें.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{3 \cos (3 x)} \csc (3 x)$

चरण 4.1.7

अलग-अलग भिन्न

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{3} \cdot \frac{1}{\cos (3 x)} \csc (3 x)$

चरण 4.1.8

$\frac{1}{\cos (3 x)}$ को $\sec (3 x)$ में बदलें.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{3} \sec (3 x) \csc (3 x)$

चरण 4.1.9

$\frac{x}{3}$ और $\sec (3 x)$ को मिलाएं.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x \sec (3 x)}{3} \csc (3 x)$

चरण 4.1.10

$\frac{x \sec (3 x)}{3}$ और $\csc (3 x)$ को मिलाएं.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x \sec (3 x) \csc (3 x)}{3}$

चरण 4.2

$\frac{1}{3}$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0^{-}} x \sec (3 x) \csc (3 x)$

चरण 4.3

फलन $x \sec (3 x) \csc (3 x)$ के व्यवहार को दिखाने के लिए एक तालिका बनाएंं क्योंकि $x$ बाईं ओर से $0$ की ओर आ रहा है.

$\begin{array}{c} x & x \sec (3 x) \csc (3 x) \\ - 0.1 & 0.35420643 \\ - 0.01 & 0.33353341 \\ - 0.001 & 0.33333533 \\ - 0.0001 & 0.33333335 \end{array}$

चरण 4.4

$x$ का मान $0$ की ओर एप्रोच करती हैं, फलन मान $0.333$ की ओर एप्रोच करती हैं. इस प्रकार, $x \sec (3 x) \csc (3 x)$ का लिमिट $x$ के रूप में $0$ के बाईं ओर से ओर एप्रोच करती है $0.333$ है.

$\frac{1}{3} \cdot 0.333$

चरण 4.5

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

$\frac{1}{3}$ और $0.333$ को मिलाएं.

$\frac{0.333}{3}$

चरण 4.5.2

$0.333$ को $3$ से विभाजित करें.

$0.111$

चरण 5

सीमा को दाईं ओर की सीमा के रूप में सेट करें.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (3 x)}$

चरण 6

दाईं ओर की सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (3 x)}$

चरण 6.1.1.2

न्यूमेरेटर की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.2.1

सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक $2$ को $x^{2}$ से सीमा से बाभाजक ले जाएं.

$\frac{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (3 x)}$

चरण 6.1.1.2.2

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (3 x)}$

चरण 6.1.1.2.3

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (3 x)}$

चरण 6.1.1.3

भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.3.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc^{2} (3 x)}}$

चरण 6.1.1.3.2

$\frac{0}{0}$

चरण 6.1.1.3.3

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 6.1.1.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 6.1.2

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (3 x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (3 x)]}$

चरण 6.1.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (3 x)]}$

चरण 6.1.3.2

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (3 x)]}$

चरण 6.1.3.3

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.3.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\csc (3 x)$ के रूप में सेट करें.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (3 x)]}$

चरण 6.1.3.3.2

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 {u_{1}}^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (3 x)]}$

चरण 6.1.3.3.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\csc (3 x)$ से बदलें.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (3 x) \frac{d}{d x} [\csc (3 x)]}$

चरण 6.1.3.4

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.3.4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $3 x$ के रूप में सेट करें.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])}$

चरण 6.1.3.4.2

$u_{2}$ के संबंध में $\csc (u_{2})$ का व्युत्पन्न $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ है.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (3 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])}$

चरण 6.1.3.4.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $3 x$ से बदलें.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (3 x) (- \csc (3 x) \cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

चरण 6.1.3.5

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 3} (3 x) (\csc (3 x) \cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

चरण 6.1.3.6

$\csc (3 x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 (\csc^{1} (3 x) \csc^{- 3} (3 x)) (\cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

चरण 6.1.3.7

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 {\csc (3 x)}^{1 - 3} (\cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

चरण 6.1.3.8

$1$ में से $3$ घटाएं.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (3 x) (\cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

चरण 6.1.3.9

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (3 x) \cot (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}$

चरण 6.1.3.10

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{6 \csc^{- 2} (3 x) \cot (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

चरण 6.1.3.11

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{6 \csc^{- 2} (3 x) \cot (3 x) \cdot 1}$

चरण 6.1.3.12

$6$ को $1$ से गुणा करें.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{6 \csc^{- 2} (3 x) \cot (3 x)}$

चरण 6.1.3.13

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.3.13.1

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\csc (3 x)$ को फिर से लिखें.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{6 {(\frac{1}{\sin (3 x)})}^{- 2} \cot (3 x)}$

चरण 6.1.3.13.2

आधार को उसके व्युत्क्रम के रूप में फिर से लिखकर घातांक के चिह्न को बदलें.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{6 \sin^{2} (3 x) \cot (3 x)}$

चरण 6.1.3.13.3

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\cot (3 x)$ को फिर से लिखें.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{6 \sin^{2} (3 x) \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}$

चरण 6.1.3.13.4

$\sin (3 x)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.3.13.4.1

$6 \sin^{2} (3 x)$ में से $\sin (3 x)$ का गुणनखंड करें.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\sin (3 x) (6 \sin (3 x)) \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}$

चरण 6.1.3.13.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\sin (3 x) (6 \sin (3 x)) \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}$

चरण 6.1.3.13.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{6 \sin (3 x) \cos (3 x)}$

चरण 6.1.4

$2$ और $6$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.4.1

$2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{6 \sin (3 x) \cos (3 x)}$

चरण 6.1.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.4.2.1

$6 \sin (3 x) \cos (3 x)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{2 (3 \sin (3 x) \cos (3 x))}$

चरण 6.1.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 (3 \sin (3 x) \cos (3 x))}$

चरण 6.1.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{3 \sin (3 x) \cos (3 x)}$

चरण 6.1.5

अलग-अलग भिन्न

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{3 \cos (3 x)} \cdot \frac{1}{\sin (3 x)}$

चरण 6.1.6

$\frac{1}{\sin (3 x)}$ को $\csc (3 x)$ में बदलें.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{3 \cos (3 x)} \csc (3 x)$

चरण 6.1.7

अलग-अलग भिन्न

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{3} \cdot \frac{1}{\cos (3 x)} \csc (3 x)$

चरण 6.1.8

$\frac{1}{\cos (3 x)}$ को $\sec (3 x)$ में बदलें.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{3} \sec (3 x) \csc (3 x)$

चरण 6.1.9

$\frac{x}{3}$ और $\sec (3 x)$ को मिलाएं.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \sec (3 x)}{3} \csc (3 x)$

चरण 6.1.10

$\frac{x \sec (3 x)}{3}$ और $\csc (3 x)$ को मिलाएं.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \sec (3 x) \csc (3 x)}{3}$

चरण 6.2

$\frac{1}{3}$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0^{+}} x \sec (3 x) \csc (3 x)$

चरण 6.3

फलन $x \sec (3 x) \csc (3 x)$ के व्यवहार को दिखाने के लिए एक तालिका बनाएंं क्योंकि $x$ दाईं ओर से $0$ की ओर आ रहा है.

$\begin{array}{c} x & x \sec (3 x) \csc (3 x) \\ 0.1 & 0.35420643 \\ 0.01 & 0.33353341 \\ 0.001 & 0.33333533 \\ 0.0001 & 0.33333335 \end{array}$

चरण 6.4

$x$ का मान $0$ की ओर एप्रोच करती हैं, फलन मान $0.333$ की ओर एप्रोच करती हैं. इस प्रकार, $x \sec (3 x) \csc (3 x)$ का लिमिट $x$ के रूप में $0$ के दाईं ओर से ओर एप्रोच करती है $0.333$ है.

$\frac{1}{3} \cdot 0.333$

चरण 6.5

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1

$\frac{1}{3}$ और $0.333$ को मिलाएं.

$\frac{0.333}{3}$

चरण 6.5.2

$0.333$ को $3$ से विभाजित करें.

$0.111$

चरण 7

चूँकि बाईं ओर की सीमा दाईं ओर की सीमा के बराबर है, इसलिए सीमा $0.111$ के बराबर है.

$0.111$