कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to 0} \frac{9}{x^{x}} - \frac{5^{x}}{x}$

चरण 1

सीमा को बाईं ओर की सीमा के रूप में सेट करें.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{9}{x^{x}} - \frac{5^{x}}{x}$

चरण 2

चर के मान में प्लग इन करके सीमाओं का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $\frac{9}{x^{x}} - \frac{5^{x}}{x}$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{9}{0^{0}} - \frac{5^{0}}{0}$

चरण 2.2

चूँकि $\frac{9}{0^{0}} - \frac{5^{0}}{0}$ अपरिभाषित है, इसलिए लिमिट मौजूद नहीं है.

$मौजूद नहीं है$

चरण 3

सीमा को दाईं ओर की सीमा के रूप में सेट करें.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{9}{x^{x}} - \frac{5^{x}}{x}$

चरण 4

दाईं ओर की सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

जैसे-जैसे $x$ $0$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{9}{x^{x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

चरण 4.1.2

$9$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x^{x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

चरण 4.1.3

जैसे ही $x$ $0$ की ओर आता है, सीमा भागफल नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$9 \frac{lim_{x \to 0^{+}} 1}{lim_{x \to 0^{+}} x^{x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

चरण 4.1.4

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$9 \frac{1}{lim_{x \to 0^{+}} x^{x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

चरण 4.2

सीमा को सरल करने के लिए लघुगणक के गुणों का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$x^{x}$ को $e^{\ln (x^{x})}$ के रूप में फिर से लिखें.

$9 \frac{1}{lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln (x^{x})}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

चरण 4.2.2

$x$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (x^{x})$ का प्रसार करें.

$9 \frac{1}{lim_{x \to 0^{+}} e^{x \ln (x)}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

चरण 4.3

सीमा को घातांक में ले जाएँ.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} x \ln (x)}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

चरण 4.4

$x \ln (x)$ को $\frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

चरण 4.5

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$9 \frac{1}{e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

चरण 4.5.1.2

जैसे-जैसे $x$ दाईं ओर से $0$ की ओर एप्रोच करता है, $\ln (x)$ बिना किसी सीमा के कम हो जाता है.

$9 \frac{1}{e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

चरण 4.5.1.3

चूँकि न्यूमेरेटर एक स्थिरांक है और भाजक $0$ की ओर एप्रोच करता है, जब $x$ दाईं ओर से $0$ की ओर एप्रोच करता है, तो भिन्न $\frac{1}{x}$ अनंत की ओर एप्रोच करता है.

$9 \frac{1}{e^{\frac{- \infty}{\infty}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

चरण 4.5.1.4

अनंत से विभाजित अनंत परिणाम अपरिभाषित होता है.

अपरिभाषित

$9 \frac{1}{e^{\frac{- \infty}{\infty}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

चरण 4.5.2

चूंकि $\frac{- \infty}{\infty}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

चरण 4.5.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

चरण 4.5.3.2

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

चरण 4.5.3.3

$\frac{1}{x}$ को $x^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

चरण 4.5.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- x^{- 2}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

चरण 4.5.3.5

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

चरण 4.5.4

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot - 1 x^{2}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

चरण 4.5.5

$\frac{1}{x}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{2}}{x}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

चरण 4.5.6

$x^{2}$ और $x$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.6.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

चरण 4.5.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.6.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x^{1}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

चरण 4.5.6.2.2

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

चरण 4.5.6.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

चरण 4.5.6.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x}{1}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

चरण 4.5.6.2.5

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

चरण 4.6

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.1

$- 1$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$9 \frac{1}{e^{- lim_{x \to 0^{+}} x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

चरण 4.6.2

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$9 \frac{1}{e^{0}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

चरण 4.7

चूंकि न्यूमेरेटर धनात्मक है और भाजक $x$ शून्य के करीब पहुंचता है और $x$ के लिए $0$ के पास दाईं ओर शून्य से अधिक है, फलन बिना सीमा के बढ़ता है.

$9 \frac{1}{e^{0}} - \infty$

चरण 4.8

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.8.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.8.1.1

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$9 (\frac{1}{1}) - \infty$

चरण 4.8.1.2

$1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.8.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$9 (\frac{1}{1}) - \infty$

चरण 4.8.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$9 \cdot 1 - \infty$

चरण 4.8.1.3

$9$ को $1$ से गुणा करें.

$9 - \infty$

चरण 4.8.1.4

एक गैर-शून्य स्थिरांक को अनंत से गुना करने पर परिणाम अनंत होता है.

$9 + - \infty$

चरण 4.8.2

अनंत में कोई संख्या से जोड़ या घटाव करने पर परिणाम एक संख्या अनंत होती है.

$- \infty$

चरण 5

यदि कोई एक तरफा सीमा मौजूद नहीं है, तो सीमा मौजूद नहीं है.

$मौजूद नहीं है$