कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to 0} | x | \cos (\frac{π}{x})$

चरण 1

सीमा का मूल्यांकन करें.

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चरण 1.1

जैसे ही $x$ $0$ की ओर आ रहा है, उत्पाद सीमा नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$lim_{x \to 0} | x | \cdot lim_{x \to 0} \cos (\frac{π}{x})$

चरण 1.2

लिमिट को निरपेक्ष मान चिह्नों के अंदर ले जाएँ.

$| lim_{x \to 0} x | \cdot lim_{x \to 0} \cos (\frac{π}{x})$

चरण 2

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$| 0 | \cdot lim_{x \to 0} \cos (\frac{π}{x})$

चरण 3

बाईं ओर की सीमा पर विचार करें.

$lim_{x \to 0^{-}} \cos (\frac{π}{x})$

चरण 4

फलन $\cos (\frac{π}{x})$ के व्यवहार को दिखाने के लिए एक तालिका बनाएंं क्योंकि $x$ बाईं ओर से $0$ की ओर आ रहा है.

$\begin{array}{c} x & \cos (\frac{π}{x}) \\ - 0.1 & 1 \\ - 0.01 & 1 \\ - 0.001 & - 0.52509112 \\ - 0.0001 & 0.98390071 \\ - 0.00001 & 0.21498467 \\ - 0.000001 & - 0.11167431 \\ - 0.0000001 & 0.25336184 \\ - 0.00000001 & - 0.90154773 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0.99999999 \end{array}$

चरण 5

$x$ का मान $0$ की ओर एप्रोच करती हैं, फलन मान $1$ की ओर एप्रोच करती हैं. इस प्रकार, $\cos (\frac{π}{x})$ का लिमिट $x$ के रूप में $0$ के बाईं ओर से ओर एप्रोच करती है $1$ है.

$1$

चरण 6

दाईं ओर की सीमा पर विचार करें.

$lim_{x \to 0^{+}} \cos (\frac{π}{x})$

चरण 7

फलन $\cos (\frac{π}{x})$ के व्यवहार को दिखाने के लिए एक तालिका बनाएंं क्योंकि $x$ दाईं ओर से $0$ की ओर आ रहा है.

$\begin{array}{c} x & \cos (\frac{π}{x}) \\ 0.1 & 1 \\ 0.01 & 1 \\ 0.001 & - 0.66711772 \\ 0.0001 & - 0.10775036 \\ 0.00001 & 0.87550456 \\ 0.000001 & 0.98459857 \\ 0.0000001 & - 0.99950431 \\ 0.00000001 & 0.67066438 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0.99999999 \end{array}$

चरण 8

$x$ का मान $0$ की ओर एप्रोच करती हैं, फलन मान $1$ की ओर एप्रोच करती हैं. इस प्रकार, $\cos (\frac{π}{x})$ का लिमिट $x$ के रूप में $0$ के दाईं ओर से ओर एप्रोच करती है $1$ है.

$| 0 | \cdot 1$

चरण 9

उत्तर को सरल करें.

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चरण 9.1

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $0$ के बीच की दूरी $0$ है.

$0 \cdot 1$

चरण 9.2

$0$ को $1$ से गुणा करें.

$0$