कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to 0} \frac{x^{3}}{x - \arctan (x)}$

चरण 1

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{3}}{lim_{x \to 0} x - \arctan (x)}$

चरण 1.1.2

न्यूमेरेटर की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक $3$ को $x^{3}$ से सीमा से बाभाजक ले जाएं.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{3}}{lim_{x \to 0} x - \arctan (x)}$

चरण 1.1.2.2

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{0^{3}}{lim_{x \to 0} x - \arctan (x)}$

चरण 1.1.2.3

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - \arctan (x)}$

चरण 1.1.3

भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

जैसे-जैसे $x$ $0$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \arctan (x)}$

चरण 1.1.3.2

$x$ की सभी घटनाओं के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.2.1

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{0}{0 - lim_{x \to 0} \arctan (x)}$

चरण 1.1.3.2.2

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $\arctan (x)$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{0}{0 - \arctan (0)}$

चरण 1.1.3.2.3

$\arctan (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{0}{0 + 0}$

चरण 1.1.3.3

$0$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{0}{0}$

चरण 1.1.3.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 1.1.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 1.2

चूंकि $\frac{0}{0}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{3}}{x - \arctan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [x - \arctan (x)]}$

चरण 1.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [x - \arctan (x)]}$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x - \arctan (x)]}$

चरण 1.3.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - \arctan (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \arctan (x)]$ है.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \arctan (x)]}$

चरण 1.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{1 + \frac{d}{d x} [- \arctan (x)]}$

चरण 1.3.5

$\frac{d}{d x} [- \arctan (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.5.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \arctan (x)$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ है.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{1 - \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}$

चरण 1.3.5.2

$x$ के संबंध में $\arctan (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{1 + x^{2}}$ है.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{1 - \frac{1}{1 + x^{2}}}$

चरण 1.3.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.6.1

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.6.1.1

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{1}{1 + x^{2}}}$

चरण 1.3.6.1.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{1 + x^{2} - 1}{1 + x^{2}}}$

चरण 1.3.6.1.3

$1$ में से $1$ घटाएं.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{x^{2} + 0}{1 + x^{2}}}$

चरण 1.3.6.1.4

$x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{x^{2}}{1 + x^{2}}}$

चरण 1.3.6.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1}}$

चरण 1.4

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$lim_{x \to 0} 3 x^{2} \frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$

चरण 1.5

गुणनखंडों को जोड़े.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$3$ और $\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$ को मिलाएं.

$lim_{x \to 0} x^{2} \frac{3 (x^{2} + 1)}{x^{2}}$

चरण 1.5.2

$x^{2}$ और $\frac{3 (x^{2} + 1)}{x^{2}}$ को मिलाएं.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} (3 (x^{2} + 1))}{x^{2}}$

चरण 1.6

$x^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} (3 (x^{2} + 1))}{x^{2}}$

चरण 1.6.2

$3 (x^{2} + 1)$ को $1$ से विभाजित करें.

$lim_{x \to 0} 3 (x^{2} + 1)$

चरण 2

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$3$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$3 lim_{x \to 0} x^{2} + 1$

चरण 2.2

$3 (lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1)$

चरण 2.3

सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक $2$ को $x^{2}$ से सीमा से बाभाजक ले जाएं.

$3 ({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1)$

चरण 2.4

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$3 ({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1)$

चरण 3

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$3 (0^{2} + 1)$

चरण 4

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$3 (0 + 1)$

चरण 4.2

$0$ और $1$ जोड़ें.

$3 \cdot 1$

चरण 4.3

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$3$