कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to 0} \frac{x \csc (2 x)}{\cos (5 x)}$

चरण 1

सीमा का मूल्यांकन करें.

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चरण 1.1

जैसे ही $x$ $0$ की ओर आता है, सीमा भागफल नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

चरण 1.2

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि कोज्या सतत है.

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (2 x)}{\cos (lim_{x \to 0} 5 x)}$

चरण 1.3

$5$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (2 x)}{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

चरण 2

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (2 x)}{\cos (5 \cdot 0)}$

चरण 3

बाईं ओर की सीमा पर विचार करें.

$lim_{x \to 0^{-}} x \csc (2 x)$

चरण 4

फलन $x \csc (2 x)$ के व्यवहार को दिखाने के लिए एक तालिका बनाएंं क्योंकि $x$ बाईं ओर से $0$ की ओर आ रहा है.

$\begin{array}{c} x & x \csc (2 x) \\ - 0.1 & 0.50334895 \\ - 0.01 & 0.50003333 \\ - 0.001 & 0.50000033 \end{array}$

चरण 5

$x$ का मान $0$ की ओर एप्रोच करती हैं, फलन मान $0.5$ की ओर एप्रोच करती हैं. इस प्रकार, $x \csc (2 x)$ का लिमिट $x$ के रूप में $0$ के बाईं ओर से ओर एप्रोच करती है $0.5$ है.

$0.5$

चरण 6

दाईं ओर की सीमा पर विचार करें.

$lim_{x \to 0^{+}} x \csc (2 x)$

चरण 7

फलन $x \csc (2 x)$ के व्यवहार को दिखाने के लिए एक तालिका बनाएंं क्योंकि $x$ दाईं ओर से $0$ की ओर आ रहा है.

$\begin{array}{c} x & x \csc (2 x) \\ 0.1 & 0.50334895 \\ 0.01 & 0.50003333 \\ 0.001 & 0.50000033 \end{array}$

चरण 8

$x$ का मान $0$ की ओर एप्रोच करती हैं, फलन मान $0.5$ की ओर एप्रोच करती हैं. इस प्रकार, $x \csc (2 x)$ का लिमिट $x$ के रूप में $0$ के दाईं ओर से ओर एप्रोच करती है $0.5$ है.

$\frac{0.5}{\cos (5 \cdot 0)}$

चरण 9

उत्तर को सरल करें.

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चरण 9.1

अलग-अलग भिन्न

$\frac{0.5}{1} \cdot \frac{1}{\cos (5 \cdot 0)}$

चरण 9.2

$\frac{1}{\cos (5 \cdot 0)}$ को $\sec (5 \cdot 0)$ में बदलें.

$\frac{0.5}{1} \sec (5 \cdot 0)$

चरण 9.3

$5$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{0.5}{1} \sec (0)$

चरण 9.4

$0.5$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

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चरण 9.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{0.5}{1} \sec (0)$

चरण 9.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\sec (0)}{2}$

चरण 9.5

$\sec (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$\frac{1}{2}$

चरण 10

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{1}{2}$

दशमलव रूप:

$0.5$