कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \cos (x)}{x}$

चरण 1

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x) \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

चरण 1.1.2

न्यूमेरेटर की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

जैसे ही $x$ $0$ की ओर आ रहा है, उत्पाद सीमा नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

चरण 1.1.2.2

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि ज्या सतत है.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

चरण 1.1.2.3

$3$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

चरण 1.1.2.4

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि कोज्या सतत है.

$\frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

चरण 1.1.2.5

$x$ की सभी घटनाओं के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.5.1

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{\sin (3 \cdot 0) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

चरण 1.1.2.5.2

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{\sin (3 \cdot 0) \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x}$

चरण 1.1.2.6

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.6.1

$3$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{\sin (0) \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x}$

चरण 1.1.2.6.2

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{0 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x}$

चरण 1.1.2.6.3

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$\frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

चरण 1.1.2.6.4

$0$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

चरण 1.1.3

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{0}{0}$

चरण 1.1.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 1.2

चूंकि $\frac{0}{0}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \cos (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 1.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

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चरण 1.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 1.3.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = \sin (3 x)$ और $g (x) = \cos (x)$ है.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 1.3.3

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 1.3.4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = 3 x$ है.

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चरण 1.3.4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $3 x$ के रूप में सेट करें.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 1.3.4.2

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का व्युत्पन्न $\cos (u)$ है.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 1.3.4.3

$u$ की सभी घटनाओं को $3 x$ से बदलें.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 1.3.5

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 1.3.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (3 x) (3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 1.3.7

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (3 x) \cdot 3}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 1.3.8

$3$ को $\cos (x) \cos (3 x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (- \sin (x)) + 3 \cdot (\cos (x) \cos (3 x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 1.3.9

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) \sin (3 x) + 3 \cos (x) \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 1.3.10

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) \sin (3 x) + 3 \cos (x) \cos (3 x)}{1}$

चरण 1.4

$- \sin (x) \sin (3 x) + 3 \cos (x) \cos (3 x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$lim_{x \to 0} - \sin (x) \sin (3 x) + 3 \cos (x) \cos (3 x)$

चरण 2

सीमा का मूल्यांकन करें.

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चरण 2.1

जैसे-जैसे $x$ $0$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$- lim_{x \to 0} \sin (x) \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x)$

चरण 2.2

जैसे ही $x$ $0$ की ओर आ रहा है, उत्पाद सीमा नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$- lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x)$

चरण 2.3

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि ज्या सतत है.

$- \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x)$

चरण 2.4

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि ज्या सतत है.

$- \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x)$

चरण 2.5

$3$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$- \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x)$

चरण 2.6

$3$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$- \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (3 x)$

चरण 2.7

जैसे ही $x$ $0$ की ओर आ रहा है, उत्पाद सीमा नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$- \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x)$

चरण 2.8

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि कोज्या सतत है.

$- \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x)$

चरण 2.9

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि कोज्या सतत है.

$- \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 3 x)$

चरण 2.10

$3$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$- \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)$

चरण 3

$x$ की सभी घटनाओं के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$- \sin (0) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)$

चरण 3.2

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$- \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)$

चरण 3.3

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$- \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (0) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)$

चरण 3.4

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$- \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)$

चरण 4

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$- 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)$

चरण 4.1.2

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)$

चरण 4.1.3

$3$ को $0$ से गुणा करें.

$0 \cdot \sin (0) + 3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)$

चरण 4.1.4

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$0 \cdot 0 + 3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)$

चरण 4.1.5

$0$ को $0$ से गुणा करें.

$0 + 3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)$

चरण 4.1.6

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$0 + 3 \cdot 1 \cdot \cos (3 \cdot 0)$

चरण 4.1.7

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$0 + 3 \cdot \cos (3 \cdot 0)$

चरण 4.1.8

$3$ को $0$ से गुणा करें.

$0 + 3 \cdot \cos (0)$

चरण 4.1.9

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$0 + 3 \cdot 1$

चरण 4.1.10

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$0 + 3$

चरण 4.2

$0$ और $3$ जोड़ें.

$3$