कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to 0} {\tan (2 x)}^{x}$

चरण 1

सीमा को सरल करने के लिए लघुगणक के गुणों का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

${\tan (2 x)}^{x}$ को $e^{\ln ({\tan (2 x)}^{x})}$ के रूप में फिर से लिखें.

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({\tan (2 x)}^{x})}$

चरण 1.2

$x$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln ({\tan (2 x)}^{x})$ का प्रसार करें.

$lim_{x \to 0} e^{x \ln (\tan (2 x))}$

चरण 2

सीमा को बाईं ओर की सीमा के रूप में सेट करें.

$lim_{x \to 0^{-}} e^{x \ln (\tan (2 x))}$

चरण 3

चर के मान में प्लग इन करके सीमाओं का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $e^{x \ln (\tan (2 x))}$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$e^{0 \ln (\tan (2 \cdot 0))}$

चरण 3.2

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$e^{0 \ln (\tan (0))}$

चरण 3.3

$\tan (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$e^{0 \ln (0)}$

चरण 3.4

चूँकि $e^{0 \ln (0)}$ अपरिभाषित है, इसलिए लिमिट मौजूद नहीं है.

$मौजूद नहीं है$

चरण 4

सीमा को दाईं ओर की सीमा के रूप में सेट करें.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{x \ln (\tan (2 x))}$

चरण 5

दाईं ओर की सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

सीमा को घातांक में ले जाएँ.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} x \ln (\tan (2 x))}$

चरण 5.2

$x \ln (\tan (2 x))$ को $\frac{\ln (\tan (2 x))}{\frac{1}{x}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\tan (2 x))}{\frac{1}{x}}}$

चरण 5.3

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\tan (2 x))}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

चरण 5.3.1.2

जैसे-जैसे $x$ दाईं ओर से $0$ की ओर एप्रोच करता है, $\ln (\tan (2 x))$ बिना किसी सीमा के कम हो जाता है.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

चरण 5.3.1.3

चूँकि न्यूमेरेटर एक स्थिरांक है और भाजक $0$ की ओर एप्रोच करता है, जब $x$ दाईं ओर से $0$ की ओर एप्रोच करता है, तो भिन्न $\frac{1}{x}$ अनंत की ओर एप्रोच करता है.

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

चरण 5.3.1.4

अनंत से विभाजित अनंत परिणाम अपरिभाषित होता है.

अपरिभाषित

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

चरण 5.3.2

चूंकि $\frac{- \infty}{\infty}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\tan (2 x))}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\tan (2 x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

चरण 5.3.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\tan (2 x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = \tan (2 x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\tan (2 x)$ के रूप में सेट करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.3.2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\ln (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{1}}$ है.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.3.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\tan (2 x)$ से बदलें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\tan (2 x)} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.3.3

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\tan (2 x)$ को फिर से लिखें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.3.4

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.3.5

$1$ को भाजक $1$ वाली भिन्न के रूप में लिखें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1} \cdot \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.3.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.6.1

व्यंजक को फिर से लिखें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.3.6.2

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.3.7

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \tan (x)$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.7.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.3.7.2

$u_{2}$ के संबंध में $\tan (u_{2})$ का व्युत्पन्न $\sec^{2} (u_{2})$ है.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.3.7.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.3.8

$\sec^{2} (2 x)$ और $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ को मिलाएं.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sec^{2} (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.3.9

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sec^{2} (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)} \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.3.10

$2$ और $\frac{\sec^{2} (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ को मिलाएं.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 \sec^{2} (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.3.11

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 \sec^{2} (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.3.12

$\frac{2 \sec^{2} (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 \sec^{2} (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.3.13

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.13.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.13.1.1

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\sec (2 x)$ को फिर से लिखें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 {(\frac{1}{\cos (2 x)})}^{2} \cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.3.13.1.2

उत्पाद नियम को $\frac{1}{\cos (2 x)}$ पर लागू करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (2 x)} \cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.3.13.1.3

एक का कोई भी घात एक होता है.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 \frac{1}{\cos^{2} (2 x)} \cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.3.13.1.4

$2$ और $\frac{1}{\cos^{2} (2 x)}$ को मिलाएं.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\frac{2}{\cos^{2} (2 x)} \cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.3.13.1.5

$\cos (2 x)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.13.1.5.1

$\cos^{2} (2 x)$ में से $\cos (2 x)$ का गुणनखंड करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\frac{2}{\cos (2 x) \cos (2 x)} \cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.3.13.1.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\frac{2}{\cos (2 x) \cos (2 x)} \cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.3.13.1.5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\frac{2}{\cos (2 x)}}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.3.13.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.13.2.1

एक गुणनफल के रूप में $\frac{\frac{2}{\cos (2 x)}}{\sin (2 x)}$ को फिर से लिखें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.3.13.2.2

$\frac{2}{\cos (2 x)}$ को $\frac{1}{\sin (2 x)}$ से गुणा करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{\cos (2 x) \sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.3.14

$\frac{1}{x}$ को $x^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{\cos (2 x) \sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

चरण 5.3.3.15

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{\cos (2 x) \sin (2 x)}}{- x^{- 2}}}$

चरण 5.3.3.16

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{\cos (2 x) \sin (2 x)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

चरण 5.3.4

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\cos (2 x) \sin (2 x)} \cdot - 1 x^{2}}$

चरण 5.3.5

$\frac{2}{\cos (2 x) \sin (2 x)}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{2 x^{2}}{\cos (2 x) \sin (2 x)}}$

चरण 5.4

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$- 1$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x^{2}}{\cos (2 x) \sin (2 x)}}$

चरण 5.4.2

$2$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\cos (2 x) \sin (2 x)}}$

चरण 5.5

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (2 x) \sin (2 x)}}$

चरण 5.5.1.2

न्यूमेरेटर की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1.2.1

सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक $2$ को $x^{2}$ से सीमा से बाभाजक ले जाएं.

$e^{- 2 \frac{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (2 x) \sin (2 x)}}$

चरण 5.5.1.2.2

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$e^{- 2 \frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (2 x) \sin (2 x)}}$

चरण 5.5.1.2.3

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$e^{- 2 \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (2 x) \sin (2 x)}}$

चरण 5.5.1.3

भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1.3.1

जैसे ही $x$ $0$ की ओर आ रहा है, उत्पाद सीमा नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$e^{- 2 \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (2 x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)}}$

चरण 5.5.1.3.2

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि कोज्या सतत है.

$e^{- 2 \frac{0}{\cos (lim_{x \to 0^{+}} 2 x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)}}$

चरण 5.5.1.3.3

$2$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$e^{- 2 \frac{0}{\cos (2 lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)}}$

चरण 5.5.1.3.4

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि ज्या सतत है.

$e^{- 2 \frac{0}{\cos (2 lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0^{+}} 2 x)}}$

चरण 5.5.1.3.5

$2$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$e^{- 2 \frac{0}{\cos (2 lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

चरण 5.5.1.3.6

$x$ की सभी घटनाओं के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1.3.6.1

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$e^{- 2 \frac{0}{\cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

चरण 5.5.1.3.6.2

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$e^{- 2 \frac{0}{\cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}}$

चरण 5.5.1.3.7

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1.3.7.1

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$e^{- 2 \frac{0}{\cos (0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}}$

चरण 5.5.1.3.7.2

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$e^{- 2 \frac{0}{1 \cdot \sin (2 \cdot 0)}}$

चरण 5.5.1.3.7.3

$\sin (2 \cdot 0)$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{- 2 \frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}}$

चरण 5.5.1.3.7.4

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$e^{- 2 \frac{0}{\sin (0)}}$

चरण 5.5.1.3.7.5

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$e^{- 2 (\frac{0}{0})}$

चरण 5.5.1.3.7.6

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$e^{- 2 (\frac{0}{0})}$

चरण 5.5.1.3.8

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$e^{- 2 (\frac{0}{0})}$

चरण 5.5.1.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$e^{- 2 (\frac{0}{0})}$

चरण 5.5.2

चूंकि $\frac{0}{0}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\cos (2 x) \sin (2 x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x) \sin (2 x)]}$

चरण 5.5.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x) \sin (2 x)]}}$

चरण 5.5.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x) \sin (2 x)]}}$

चरण 5.5.3.3

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = \cos (2 x)$ और $g (x) = \sin (2 x)$ है.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

चरण 5.5.3.4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.3.4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos (2 x) \frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

चरण 5.5.3.4.2

$u_{1}$ के संबंध में $\sin (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\cos (u_{1})$ है.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos (2 x) \cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

चरण 5.5.3.4.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos (2 x) \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

चरण 5.5.3.5

$\cos (2 x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{1} (2 x) \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

चरण 5.5.3.6

$\cos (2 x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

चरण 5.5.3.7

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{{\cos (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

चरण 5.5.3.8

$1$ और $1$ जोड़ें.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

चरण 5.5.3.9

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{2} (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

चरण 5.5.3.10

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{2} (2 x) \cdot 2 \cdot 1 + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

चरण 5.5.3.11

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{2} (2 x) \cdot 2 + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

चरण 5.5.3.12

$2$ को $\cos^{2} (2 x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cdot \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

चरण 5.5.3.13

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.3.13.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]}}$

चरण 5.5.3.13.2

$u_{2}$ के संबंध में $\cos (u_{2})$ का व्युत्पन्न $- \sin (u_{2})$ है.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 1 \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]}}$

चरण 5.5.3.13.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 1 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}}$

चरण 5.5.3.14

$\sin (2 x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{1} (2 x) \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}}$

चरण 5.5.3.15

$\sin (2 x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{1} (2 x) \sin^{1} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}}$

चरण 5.5.3.16

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - {\sin (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x]}}$

चरण 5.5.3.17

$1$ और $1$ जोड़ें.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}}$

चरण 5.5.3.18

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}}$

चरण 5.5.3.19

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]}}$

चरण 5.5.3.20

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x) \cdot 1}}$

चरण 5.5.3.21

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x)}}$

चरण 5.5.4

$2$ और $2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x)$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.4.1

$2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x)}}$

चरण 5.5.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.4.2.1

$2 \cos^{2} (2 x)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{2 (\cos^{2} (2 x)) - 2 \sin^{2} (2 x)}}$

चरण 5.5.4.2.2

$- 2 \sin^{2} (2 x)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{2 (\cos^{2} (2 x)) + 2 \cdot - 1 \sin^{2} (2 x)}}$

चरण 5.5.4.2.3

$2 (\cos^{2} (2 x)) + 2 (- \sin^{2} (2 x))$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{2 (\cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x))}}$

चरण 5.5.4.2.4

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 (\cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x))}}$

चरण 5.5.4.2.5

व्यंजक को फिर से लिखें.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{\cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x)}}$

चरण 5.6

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1

जैसे ही $x$ $0$ की ओर आता है, सीमा भागफल नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x)}}$

चरण 5.6.2

जैसे-जैसे $x$ $0$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (2 x) - lim_{x \to 0^{+}} \sin^{2} (2 x)}}$

चरण 5.6.3

सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक $2$ को $\cos^{2} (2 x)$ से सीमा से बाभाजक ले जाएं.

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{{(lim_{x \to 0^{+}} \cos (2 x))}^{2} - lim_{x \to 0^{+}} \sin^{2} (2 x)}}$

चरण 5.6.4

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि कोज्या सतत है.

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} 2 x) - lim_{x \to 0^{+}} \sin^{2} (2 x)}}$

चरण 5.6.5

$2$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x) - lim_{x \to 0^{+}} \sin^{2} (2 x)}}$

चरण 5.6.6

सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक $2$ को $\sin^{2} (2 x)$ से सीमा से बाभाजक ले जाएं.

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x) - {(lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x))}^{2}}}$

चरण 5.6.7

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि ज्या सतत है.

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x) - \sin^{2} (lim_{x \to 0^{+}} 2 x)}}$

चरण 5.6.8

$2$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x) - \sin^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

चरण 5.7

$x$ की सभी घटनाओं के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.1

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$e^{- 2 \frac{0}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x) - \sin^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

चरण 5.7.2

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$e^{- 2 \frac{0}{\cos^{2} (2 \cdot 0) - \sin^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

चरण 5.7.3

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$e^{- 2 \frac{0}{\cos^{2} (2 \cdot 0) - \sin^{2} (2 \cdot 0)}}$

चरण 5.8

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.1.1

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$e^{- 2 \frac{0}{\cos^{2} (0) - \sin^{2} (2 \cdot 0)}}$

चरण 5.8.1.2

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$e^{- 2 \frac{0}{1^{2} - \sin^{2} (2 \cdot 0)}}$

चरण 5.8.1.3

एक का कोई भी घात एक होता है.

$e^{- 2 \frac{0}{1 - \sin^{2} (2 \cdot 0)}}$

चरण 5.8.1.4

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$e^{- 2 \frac{0}{1 - \sin^{2} (0)}}$

चरण 5.8.1.5

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$e^{- 2 \frac{0}{1 - 0^{2}}}$

चरण 5.8.1.6

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$e^{- 2 \frac{0}{1 - 0}}$

चरण 5.8.1.7

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$e^{- 2 \frac{0}{1 + 0}}$

चरण 5.8.1.8

$1$ और $0$ जोड़ें.

$e^{- 2 (\frac{0}{1})}$

चरण 5.8.2

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$e^{- 2 \cdot 0}$

चरण 5.8.3

$- 2$ को $0$ से गुणा करें.

$e^{0}$

चरण 5.9

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$1$

चरण 6

यदि कोई एक तरफा सीमा मौजूद नहीं है, तो सीमा मौजूद नहीं है.

$मौजूद नहीं है$