कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x^{2}}$

चरण 1

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

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चरण 1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

चरण 1.1.2

न्यूमेरेटर की सीमा का मान ज्ञात करें.

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चरण 1.1.2.1

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि स्पर्शरेखा सतत है.

$\frac{\tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

चरण 1.1.2.2

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

चरण 1.1.2.3

$\tan (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

चरण 1.1.3

भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

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चरण 1.1.3.1

सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक $2$ को $x^{2}$ से सीमा से बाभाजक ले जाएं.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

चरण 1.1.3.2

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{0}{0^{2}}$

चरण 1.1.3.3

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{0}{0}$

चरण 1.1.3.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 1.1.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 1.2

चूंकि $\frac{0}{0}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

चरण 1.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

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चरण 1.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

चरण 1.3.2

$x$ के संबंध में $\tan (x)$ का व्युत्पन्न $\sec^{2} (x)$ है.

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

चरण 1.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{2 x}$

चरण 2

चूँकि फलन बाईं ओर से $- \infty$ और दाईं ओर से $\infty$ तक एप्रोच करता है, इसलिए लिमिट मौजूद नहीं है.

$मौजूद नहीं है$