कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{\infty} e^{- 2 x} d x$

चरण 1

$t$ $\infty$ की ओर एप्रोच करता है, समाकलन को एक लिमिट के रूप में लिखें.

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} e^{- 2 x} d x$

चरण 2

मान लीजिए $u = - 2 x$ .फिर $d u = - 2 d x$ , तो $- \frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

मान लें $u = - 2 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$- 2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

चरण 2.1.2

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 x$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 2 \cdot 1$

चरण 2.1.4

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$- 2$

चरण 2.2

$x$ के लिए $u = - 2 x$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = - 2 \cdot 0$

चरण 2.3

$- 2$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0$

चरण 2.4

$x$ के लिए $u = - 2 x$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = - 2 t$

चरण 2.5

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2 t$

चरण 2.6

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

चरण 3.2

$e^{u}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{- 2 t} - \frac{e^{u}}{2} d u$

चरण 4

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$lim_{t \to \infty} - \int_{0}^{- 2 t} \frac{e^{u}}{2} d u$

चरण 5

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$lim_{t \to \infty} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} d u)$

चरण 6

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2} e^{u}]_{0}^{- 2 t}$

चरण 7

$e^{u}]_{0}^{- 2 t}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{u}]_{0}^{- 2 t}}{2}$

चरण 8

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$- 2 t$ पर और $0$ पर $e^{u}$ का मान ज्ञात करें.

$lim_{t \to \infty} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{2}$

चरण 8.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- 2 t} - 1 \cdot 1}{2}$

चरण 8.2.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- 2 t} - 1}{2}$

चरण 9

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$- 1$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $t$ के संबंध में स्थिर है.

$- lim_{t \to \infty} \frac{e^{- 2 t} - 1}{2}$

चरण 9.1.2

$\frac{1}{2}$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $t$ के संबंध में स्थिर है.

$- \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - 1$

चरण 9.1.3

जैसे-जैसे $t$ $\infty$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

चरण 9.2

चूँकि घातांक $- 2 t$ $- \infty$ की ओर एप्रोच करता है, इसलिए मान $e^{- 2 t}$ $0$ की ओर एप्रोच करता है.

$- \frac{1}{2} (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

चरण 9.3

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $t$ के $\infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$- \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1)$

चरण 9.3.2

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.2.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{2} (0 - 1)$

चरण 9.3.2.2

$0$ में से $1$ घटाएं.

$- \frac{1}{2} \cdot - 1$

चरण 9.3.2.3

$- \frac{1}{2} \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.2.3.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 (\frac{1}{2})$

चरण 9.3.2.3.2

$\frac{1}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2}$

चरण 10

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{1}{2}$

दशमलव रूप:

$0.5$