कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{3 x} + \frac{2 x}{\tan (4 x)}$

चरण 1

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

जैसे-जैसे $x$ $0$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{3 x} + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\tan (4 x)}$

चरण 1.2

$\frac{1}{3}$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\tan (4 x)}$

चरण 2

$\cos (x) \leq \frac{\sin (x)}{x} \leq 1$ और $lim_{x \to 0} \cos (x) = lim_{x \to 0} 1 = 1$ के बाद से, स्क्वीज प्रमेय लागू करें.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\tan (4 x)}$

चरण 3

$2$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan (4 x)}$

चरण 4

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \tan (4 x)}$

चरण 4.1.2

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{0}{lim_{x \to 0} \tan (4 x)}$

चरण 4.1.3

भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.1

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.1.1

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि स्पर्शरेखा सतत है.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{0}{\tan (lim_{x \to 0} 4 x)}$

चरण 4.1.3.1.2

$4$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{0}{\tan (4 lim_{x \to 0} x)}$

चरण 4.1.3.2

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{0}{\tan (4 \cdot 0)}$

चरण 4.1.3.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.3.1

$4$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{0}{\tan (0)}$

चरण 4.1.3.3.2

$\tan (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{0}{0})$

चरण 4.1.3.3.3

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{0}{0})$

चरण 4.1.3.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{0}{0})$

चरण 4.1.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{0}{0})$

चरण 4.2

चूंकि $\frac{0}{0}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan (4 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\tan (4 x)]}$

चरण 4.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\tan (4 x)]}$

चरण 4.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\tan (4 x)]}$

चरण 4.3.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \tan (x)$ और $g (x) = 4 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $4 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [4 x]}$

चरण 4.3.3.2

$u$ के संबंध में $\tan (u)$ का व्युत्पन्न $\sec^{2} (u)$ है.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [4 x]}$

चरण 4.3.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $4 x$ से बदलें.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]}$

चरण 4.3.4

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (4 x) \cdot 4 \frac{d}{d x} [x]}$

चरण 4.3.5

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (4 x) \cdot 4 \cdot 1}$

चरण 4.3.6

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (4 x) \cdot 4}$

चरण 4.3.7

$4$ को $\sec^{2} (4 x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{4 \sec^{2} (4 x)}$

चरण 5

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\frac{1}{4}$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (4 x)}$

चरण 5.2

जैसे ही $x$ $0$ की ओर आता है, सीमा भागफल नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (4 x)}$

चरण 5.3

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (4 x)}$

चरण 5.4

सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक $2$ को $\sec^{2} (4 x)$ से सीमा से बाभाजक ले जाएं.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{{(lim_{x \to 0} \sec (4 x))}^{2}}$

चरण 5.5

सीमा को त्रिकोणमितीय फलन के अंदर ले जाएँ क्योंकि कोटिज्या सतत है.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} 4 x)}$

चरण 5.6

$4$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{\sec^{2} (4 lim_{x \to 0} x)}$

चरण 6

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{\sec^{2} (4 \cdot 0)}$

चरण 7

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

$\frac{1}{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{\sec^{2} (4 \cdot 0)}$

चरण 7.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{3} + 2 \frac{1}{2 (2)} \frac{1}{\sec^{2} (4 \cdot 0)}$

चरण 7.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{3} + 2 \frac{1}{2 \cdot 2} \frac{1}{\sec^{2} (4 \cdot 0)}$

चरण 7.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sec^{2} (4 \cdot 0)}$

चरण 7.1.3

जोड़ना.

$\frac{1}{3} + \frac{1 \cdot 1}{2 \sec^{2} (4 \cdot 0)}$

चरण 7.1.4

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2 \sec^{2} (4 \cdot 0)}$

चरण 7.1.5

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.5.1

$4$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2 \sec^{2} (0)}$

चरण 7.1.5.2

$\sec (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}$

चरण 7.1.5.3

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2 \cdot 1}$

चरण 7.1.6

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2}$

चरण 7.2

$\frac{1}{3}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

चरण 7.3

$\frac{1}{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

चरण 7.4

प्रत्येक व्यंजक को $6$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.1

$\frac{1}{3}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

चरण 7.4.2

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

चरण 7.4.3

$\frac{1}{2}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3}$

चरण 7.4.4

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{2}{6} + \frac{3}{6}$

चरण 7.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2 + 3}{6}$

चरण 7.6

$2$ और $3$ जोड़ें.

$\frac{5}{6}$

चरण 8

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{5}{6}$

दशमलव रूप:

$0.8\overline{3}$