कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{3 x - 2}{2 x + 1}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = 3 x - 2$ और $g (x) = 2 x + 1$ है.

$f' (x) = \frac{(2 x + 1) \frac{d}{d x} (3 x - 2) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

चरण 1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x - 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ है.

$f' (x) = \frac{(2 x + 1) (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

चरण 1.2.2

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f' (x) = \frac{(2 x + 1) (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

चरण 1.2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f' (x) = \frac{(2 x + 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2)) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

चरण 1.2.4

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{(2 x + 1) (3 + \frac{d}{d x} (- 2)) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

चरण 1.2.5

चूंकि $x$ के संबंध में $- 2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = \frac{(2 x + 1) (3 + 0) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

चरण 1.2.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.1

$3$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = \frac{(2 x + 1) \cdot 3 - (3 x - 2) \frac{d}{d x} (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

चरण 1.2.6.2

$3$ को $2 x + 1$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f' (x) = \frac{3 \cdot (2 x + 1) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

चरण 1.2.7

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$f' (x) = \frac{3 (2 x + 1) - (3 x - 2) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1))}{{(2 x + 1)}^{2}}$

चरण 1.2.8

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f' (x) = \frac{3 (2 x + 1) - (3 x - 2) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))}{{(2 x + 1)}^{2}}$

चरण 1.2.9

$f' (x) = \frac{3 (2 x + 1) - (3 x - 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))}{{(2 x + 1)}^{2}}$

चरण 1.2.10

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{3 (2 x + 1) - (3 x - 2) (2 + \frac{d}{d x} (1))}{{(2 x + 1)}^{2}}$

चरण 1.2.11

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = \frac{3 (2 x + 1) - (3 x - 2) (2 + 0)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

चरण 1.2.12

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.12.1

$2$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = \frac{3 (2 x + 1) - (3 x - 2) \cdot 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

चरण 1.2.12.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{3 (2 x + 1) - 2 (3 x - 2)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = \frac{3 (2 x) + 3 \cdot 1 - 2 (3 x - 2)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

चरण 1.3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = \frac{3 (2 x) + 3 \cdot 1 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

चरण 1.3.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.1

$3 (2 x) + 3 \cdot 1 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.1.1

गुणनखंडों को $3 (2 x)$ और $- 2 (3 x)$ पदों में पुन: व्यवस्थित करें.

$f' (x) = \frac{2 \cdot (3 x) + 3 \cdot 1 - 2 \cdot (3 x) - 2 \cdot - 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

चरण 1.3.3.1.2

$2 \cdot 3 x$ में से $2 \cdot 3 x$ घटाएं.

$f' (x) = \frac{3 \cdot 1 + 0 - 2 \cdot - 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

चरण 1.3.3.1.3

$3 \cdot 1$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = \frac{3 \cdot 1 - 2 \cdot - 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

चरण 1.3.3.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.2.1

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{3 - 2 \cdot - 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

चरण 1.3.3.2.2

$- 2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{3 + 4}{{(2 x + 1)}^{2}}$

चरण 1.3.3.3

$3$ और $4$ जोड़ें.

$f' (x) = \frac{7}{{(2 x + 1)}^{2}}$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

चूंकि $7$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{7}{{(2 x + 1)}^{2}}$ का व्युत्पन्न $7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}}]$ है.

$f'' (x) = 7 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}})$

चरण 2.1.2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

$\frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}}$ को ${({(2 x + 1)}^{2})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f'' (x) = 7 \frac{d}{d x} ({({(2 x + 1)}^{2})}^{- 1})$

चरण 2.1.2.2

घातांक को ${({(2 x + 1)}^{2})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 7 \frac{d}{d x} ({(2 x + 1)}^{2 \cdot - 1})$

चरण 2.1.2.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 7 \frac{d}{d x} ({(2 x + 1)}^{- 2})$

चरण 2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 2}$ और $g (x) = 2 x + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x + 1$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = 7 (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

चरण 2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 2$ है.

$f'' (x) = 7 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

चरण 2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x + 1$ से बदलें.

$f'' (x) = 7 (- 2 {(2 x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

चरण 2.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$- 2$ को $7$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 14 ({(2 x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

चरण 2.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$f'' (x) = - 14 {(2 x + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1))$

चरण 2.3.3

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = - 14 {(2 x + 1)}^{- 3} (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

चरण 2.3.4

$f'' (x) = - 14 {(2 x + 1)}^{- 3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))$

चरण 2.3.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 14 {(2 x + 1)}^{- 3} (2 + \frac{d}{d x} (1))$

चरण 2.3.6

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = - 14 {(2 x + 1)}^{- 3} (2 + 0)$

चरण 2.3.7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.1

$2$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = - 14 {(2 x + 1)}^{- 3} \cdot 2$

चरण 2.3.7.2

$2$ को $- 14$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 28 {(2 x + 1)}^{- 3}$

चरण 2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (x) = - 28 \frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}}$

चरण 2.4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

$- 28$ और $\frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = \frac{- 28}{{(2 x + 1)}^{3}}$

चरण 2.4.2.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (x) = - \frac{28}{{(2 x + 1)}^{3}}$

चरण 3

व्युत्पन्न ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

चूंकि $- 28$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \frac{28}{{(2 x + 1)}^{3}}$ का व्युत्पन्न $- 28 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}}]$ है.

$f''' (x) = - 28 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}}$

चरण 3.1.2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

$\frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}}$ को ${({(2 x + 1)}^{3})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f''' (x) = - 28 \frac{d}{d x} {({(2 x + 1)}^{3})}^{- 1}$

चरण 3.1.2.2

घातांक को ${({(2 x + 1)}^{3})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = - 28 \frac{d}{d x} {(2 x + 1)}^{3 \cdot - 1}$

चरण 3.1.2.2.2

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f''' (x) = - 28 \frac{d}{d x} {(2 x + 1)}^{- 3}$

चरण 3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 3}$ और $g (x) = 2 x + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x + 1$ के रूप में सेट करें.

$f''' (x) = - 28 (\frac{d}{d u} (u^{- 3}) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

चरण 3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 3$ है.

$f''' (x) = - 28 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

चरण 3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x + 1$ से बदलें.

$f''' (x) = - 28 (- 3 {(2 x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

चरण 3.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$- 3$ को $- 28$ से गुणा करें.

$f''' (x) = 84 ({(2 x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

चरण 3.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$f''' (x) = 84 {(2 x + 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1))$

चरण 3.3.3

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f''' (x) = 84 {(2 x + 1)}^{- 4} (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

चरण 3.3.4

$f''' (x) = 84 {(2 x + 1)}^{- 4} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))$

चरण 3.3.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$f''' (x) = 84 {(2 x + 1)}^{- 4} (2 + \frac{d}{d x} (1))$

चरण 3.3.6

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f''' (x) = 84 {(2 x + 1)}^{- 4} (2 + 0)$

चरण 3.3.7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.7.1

$2$ और $0$ जोड़ें.

$f''' (x) = 84 {(2 x + 1)}^{- 4} \cdot 2$

चरण 3.3.7.2

$2$ को $84$ से गुणा करें.

$f''' (x) = 168 {(2 x + 1)}^{- 4}$

चरण 3.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f''' (x) = 168 (\frac{1}{{(2 x + 1)}^{4}})$

चरण 3.4.2

$168$ और $\frac{1}{{(2 x + 1)}^{4}}$ को मिलाएं.

$f''' (x) = \frac{168}{{(2 x + 1)}^{4}}$

चरण 4

चौथा व्युत्पन्न ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

चूंकि $168$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{168}{{(2 x + 1)}^{4}}$ का व्युत्पन्न $168 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x + 1)}^{4}}]$ है.

$f^{4} (x) = 168 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(2 x + 1)}^{4}})$

चरण 4.1.2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

$\frac{1}{{(2 x + 1)}^{4}}$ को ${({(2 x + 1)}^{4})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f^{4} (x) = 168 \frac{d}{d x} ({({(2 x + 1)}^{4})}^{- 1})$

चरण 4.1.2.2

घातांक को ${({(2 x + 1)}^{4})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = 168 \frac{d}{d x} ({(2 x + 1)}^{4 \cdot - 1})$

चरण 4.1.2.2.2

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f^{4} (x) = 168 \frac{d}{d x} ({(2 x + 1)}^{- 4})$

चरण 4.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 4}$ और $g (x) = 2 x + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x + 1$ के रूप में सेट करें.

$f^{4} (x) = 168 (\frac{d}{d u} (u^{- 4}) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

चरण 4.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 4$ है.

$f^{4} (x) = 168 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

चरण 4.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x + 1$ से बदलें.

$f^{4} (x) = 168 (- 4 {(2 x + 1)}^{- 5} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

चरण 4.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$- 4$ को $168$ से गुणा करें.

$f^{4} (x) = - 672 ({(2 x + 1)}^{- 5} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

चरण 4.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$f^{4} (x) = - 672 {(2 x + 1)}^{- 5} (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1))$

चरण 4.3.3

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f^{4} (x) = - 672 {(2 x + 1)}^{- 5} (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

चरण 4.3.4

$f^{4} (x) = - 672 {(2 x + 1)}^{- 5} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))$

चरण 4.3.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$f^{4} (x) = - 672 {(2 x + 1)}^{- 5} (2 + \frac{d}{d x} (1))$

चरण 4.3.6

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f^{4} (x) = - 672 {(2 x + 1)}^{- 5} (2 + 0)$

चरण 4.3.7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.7.1

$2$ और $0$ जोड़ें.

$f^{4} (x) = - 672 {(2 x + 1)}^{- 5} \cdot 2$

चरण 4.3.7.2

$2$ को $- 672$ से गुणा करें.

$f^{4} (x) = - 1344 {(2 x + 1)}^{- 5}$

चरण 4.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f^{4} (x) = - 1344 \frac{1}{{(2 x + 1)}^{5}}$

चरण 4.4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.2.1

$- 1344$ और $\frac{1}{{(2 x + 1)}^{5}}$ को मिलाएं.

$f^{4} (x) = \frac{- 1344}{{(2 x + 1)}^{5}}$

चरण 4.4.2.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f^{4} (x) = - \frac{1344}{{(2 x + 1)}^{5}}$