कैलकुलस उदाहरण

$y = \cos (11 x)$ , $y = 0$ , $x = \frac{π}{22}$ , $x = \frac{π}{11}$

चरण 1

वक्रों के बीच प्रतिच्छेदन ज्ञात करने के लिए प्रतिस्थापन द्वारा हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

प्रत्येक समीकरण के बराबर पक्षों का विलोप करें और संयोजित करें.

$\cos (11 x) = 0$

चरण 1.2

$x$ के लिए $\cos (11 x) = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

कोज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम कोज्या लें.

$11 x = \arccos (0)$

चरण 1.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

$\arccos (0)$ का सटीक मान $\frac{π}{2}$ है.

$11 x = \frac{π}{2}$

चरण 1.2.3

$11 x = \frac{π}{2}$ के प्रत्येक पद को $11$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

$11 x = \frac{π}{2}$ के प्रत्येक पद को $11$ से विभाजित करें.

$\frac{11 x}{11} = \frac{\frac{π}{2}}{11}$

चरण 1.2.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1

$11$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{11 x}{11} = \frac{\frac{π}{2}}{11}$

चरण 1.2.3.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{\frac{π}{2}}{11}$

चरण 1.2.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.3.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{11}$

चरण 1.2.3.3.2

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{11}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.3.2.1

$\frac{π}{2}$ को $\frac{1}{11}$ से गुणा करें.

$x = \frac{π}{2 \cdot 11}$

चरण 1.2.3.3.2.2

$2$ को $11$ से गुणा करें.

$x = \frac{π}{22}$

चरण 1.2.4

पहले और चौथे चतुर्थांश में कोज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, चौथे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $2 π$ से घटाएं.

$11 x = 2 π - \frac{π}{2}$

चरण 1.2.5

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.1.1

$2 π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$11 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 1.2.5.1.2

$2 π$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$11 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 1.2.5.1.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$11 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

चरण 1.2.5.1.4

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$11 x = \frac{4 π - π}{2}$

चरण 1.2.5.1.5

$4 π$ में से $π$ घटाएं.

$11 x = \frac{3 π}{2}$

चरण 1.2.5.2

$11 x = \frac{3 π}{2}$ के प्रत्येक पद को $11$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.1

$11 x = \frac{3 π}{2}$ के प्रत्येक पद को $11$ से विभाजित करें.

$\frac{11 x}{11} = \frac{\frac{3 π}{2}}{11}$

चरण 1.2.5.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.2.1

$11$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{11 x}{11} = \frac{\frac{3 π}{2}}{11}$

चरण 1.2.5.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{11}$

चरण 1.2.5.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.3.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{11}$

चरण 1.2.5.2.3.2

$\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{11}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.3.2.1

$\frac{3 π}{2}$ को $\frac{1}{11}$ से गुणा करें.

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 11}$

चरण 1.2.5.2.3.2.2

$2$ को $11$ से गुणा करें.

$x = \frac{3 π}{22}$

चरण 1.2.6

$\cos (11 x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 1.2.6.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $11$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 11 |}$

चरण 1.2.6.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $11$ के बीच की दूरी $11$ है.

$\frac{2 π}{11}$

चरण 1.2.7

$\cos (11 x)$ फलन की अवधि $\frac{2 π}{11}$ है, इसलिए मान प्रत्येक $\frac{2 π}{11}$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$x = \frac{π}{22} + \frac{2 π n}{11}, \frac{3 π}{22} + \frac{2 π n}{11}$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 1.2.8

उत्तरों को समेकित करें.

$x = \frac{π}{22} + \frac{π n}{11}$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 1.3

$\frac{π}{22} + \frac{π n}{11}$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = 0$

चरण 1.4

सभी हलों की सूची बनाएंं.

$y = 0, x = \frac{π}{22} + \frac{π n}{11}$

चरण 2

वक्रों के बीच के क्षेत्र के क्षेत्रफल को ऊपरी वक्र के अवकलन से निचले वक्र के अवकलन को घटाने के रूप में परिभाषित किया जाता है. क्षेत्रों का निर्धारण वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं द्वारा किया जाता है. यह बीजगणितीय या आलेखीय रूप से किया जा सकता है.

$A r e a = \int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} 0 d x - \int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} \cos (11 x) d x$

चरण 3

$\frac{π}{22}$ और $\frac{π}{11}$ के बीच के क्षेत्र को पता करने के लिए समेकित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समाकलन को एकल समाकलन में जोड़ें.

$\int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} 0 - (\cos (11 x)) d x$

चरण 3.2

$0$ में से $\cos (11 x)$ घटाएं.

$\int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} - \cos (11 x) d x$

चरण 3.3

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} \cos (11 x) d x$

चरण 3.4

मान लीजिए $u = 11 x$ .फिर $d u = 11 d x$ , तो $\frac{1}{11} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

मान लें $u = 11 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.1

$11 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [11 x]$

चरण 3.4.1.2

चूंकि $11$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $11 x$ का व्युत्पन्न $11 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$11 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.4.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$11 \cdot 1$

चरण 3.4.1.4

$11$ को $1$ से गुणा करें.

$11$

चरण 3.4.2

$x$ के लिए $u = 11 x$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 11 \frac{π}{22}$

चरण 3.4.3

$11$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.1

$22$ में से $11$ का गुणनखंड करें.

$u_{lower} = 11 \frac{π}{11 (2)}$

चरण 3.4.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{lower} = 11 \frac{π}{11 \cdot 2}$

चरण 3.4.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

चरण 3.4.4

$x$ के लिए $u = 11 x$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 11 \frac{π}{11}$

चरण 3.4.5

$11$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{upper} = 11 \frac{π}{11}$

चरण 3.4.5.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{upper} = π$

चरण 3.4.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

$u_{upper} = π$

चरण 3.4.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$- \int_{\frac{π}{2}}^{π} \cos (u) \frac{1}{11} d u$

चरण 3.5

$\cos (u)$ और $\frac{1}{11}$ को मिलाएं.

$- \int_{\frac{π}{2}}^{π} \frac{\cos (u)}{11} d u$

चरण 3.6

चूँकि $\frac{1}{11}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{11}$ को समाकलन से हटा दें.

$- (\frac{1}{11} \int_{\frac{π}{2}}^{π} \cos (u) d u)$

चरण 3.7

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का इंटीग्रल $\sin (u)$ है.

$- \frac{1}{11} \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{π}$

चरण 3.8

$π$ पर और $\frac{π}{2}$ पर $\sin (u)$ का मान ज्ञात करें.

$- \frac{1}{11} (\sin (π) - \sin (\frac{π}{2}))$

चरण 3.9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.1

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$- \frac{1}{11} (\sin (π) - 1 \cdot 1)$

चरण 3.9.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{11} (\sin (π) - 1)$

चरण 3.10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.10.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.10.1.1

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें.

$- \frac{1}{11} (\sin (0) - 1)$

चरण 3.10.1.2

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$- \frac{1}{11} (0 - 1)$

चरण 3.10.2

$0$ में से $1$ घटाएं.

$- \frac{1}{11} \cdot - 1$

चरण 3.10.3

$- \frac{1}{11} \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.10.3.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 (\frac{1}{11})$

चरण 3.10.3.2

$\frac{1}{11}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{11}$

चरण 4