कैलकुलस उदाहरण

$y = x^{2}$ , $y = 4 x - x^{2}$

चरण 1

वक्रों के बीच प्रतिच्छेदन ज्ञात करने के लिए प्रतिस्थापन द्वारा हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

प्रत्येक समीकरण के बराबर पक्षों का विलोप करें और संयोजित करें.

$x^{2} = 4 x - x^{2}$

चरण 1.2

$x$ के लिए $x^{2} = 4 x - x^{2}$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चूंकि $x$ समीकरण के दाएं पक्ष की ओर है, पक्षों को स्विच करें ताकि यह समीकरण के बाएं पक्ष की ओर हो.

$4 x - x^{2} = x^{2}$

चरण 1.2.2

$x$ वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं ओर ले जाएँ.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $x^{2}$ घटाएं.

$4 x - x^{2} - x^{2} = 0$

चरण 1.2.2.2

$- x^{2}$ में से $x^{2}$ घटाएं.

$4 x - 2 x^{2} = 0$

चरण 1.2.3

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

मान लीजिए $u = x$ . $x$ की सभी घटनाओं के लिए $u$ को प्रतिस्थापित करें.

$4 u - 2 u^{2} = 0$

चरण 1.2.3.2

$4 u - 2 u^{2}$ में से $2 u$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1

$4 u$ में से $2 u$ का गुणनखंड करें.

$2 u (2) - 2 u^{2} = 0$

चरण 1.2.3.2.2

$- 2 u^{2}$ में से $2 u$ का गुणनखंड करें.

$2 u (2) + 2 u (- u) = 0$

चरण 1.2.3.2.3

$2 u (2) + 2 u (- u)$ में से $2 u$ का गुणनखंड करें.

$2 u (2 - u) = 0$

चरण 1.2.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x$ से बदलें.

$2 x (2 - x) = 0$

चरण 1.2.4

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x = 0$

$2 - x = 0 + y = 4 x - x^{2}$

चरण 1.2.5

$x$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x = 0$

चरण 1.2.6

$2 - x$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.1

$2 - x$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$2 - x = 0$

चरण 1.2.6.2

$x$ के लिए $2 - x = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$- x = - 2$

चरण 1.2.6.2.2

$- x = - 2$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.2.2.1

$- x = - 2$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

चरण 1.2.6.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.2.2.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

चरण 1.2.6.2.2.2.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{- 2}{- 1}$

चरण 1.2.6.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.2.2.3.1

$- 2$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$x = 2$

चरण 1.2.7

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $2 x (2 - x) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 0, 2$

चरण 1.3

$y$ का मूल्यांकन करें जब $x = 0$ हो.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$0$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = 4 (0) - {(0)}^{2}$

चरण 1.3.2

$0$ को $x$ के लिए $y = 4 (0) - {(0)}^{2}$ में प्रतिस्थापित करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$y = 4 (0) - 0^{2}$

चरण 1.3.2.2

$4 (0) - 0^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.2.1.1

$4$ को $0$ से गुणा करें.

$y = 0 - 0^{2}$

चरण 1.3.2.2.1.2

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$y = 0 - 0$

चरण 1.3.2.2.1.3

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$y = 0 + 0$

चरण 1.3.2.2.2

$0$ और $0$ जोड़ें.

$y = 0$

चरण 1.4

$y$ का मूल्यांकन करें जब $x = 2$ हो.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$2$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = 4 (2) - {(2)}^{2}$

चरण 1.4.2

$2$ को $x$ के लिए $y = 4 (2) - {(2)}^{2}$ में प्रतिस्थापित करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$y = 4 (2) - 2^{2}$

चरण 1.4.2.2

$4 (2) - 2^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.2.1.1

$4$ को $2$ से गुणा करें.

$y = 8 - 2^{2}$

चरण 1.4.2.2.1.2

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = 8 - 1 \cdot 4$

चरण 1.4.2.2.1.3

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$y = 8 - 4$

चरण 1.4.2.2.2

$8$ में से $4$ घटाएं.

$y = 4$

चरण 1.5

सिस्टम का हल क्रमित युग्म का पूरा सेट है जो मान्य हल हैं.

$(0, 0)$

$(2, 4)$

$(0, 0)$

$(2, 4)$

चरण 2

$4 x$ और $- x^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$y = - x^{2} + 4 x$

चरण 3

वक्रों के बीच के क्षेत्र के क्षेत्रफल को ऊपरी वक्र के अवकलन से निचले वक्र के अवकलन को घटाने के रूप में परिभाषित किया जाता है. क्षेत्रों का निर्धारण वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं द्वारा किया जाता है. यह बीजगणितीय या आलेखीय रूप से किया जा सकता है.

$A r e a = \int_{0}^{2} - x^{2} + 4 x d x - \int_{0}^{2} x^{2} d x$

चरण 4

$0$ और $2$ के बीच के क्षेत्र को पता करने के लिए समेकित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

समाकलन को एकल समाकलन में जोड़ें.

$\int_{0}^{2} - x^{2} + 4 x - (x^{2}) d x$

चरण 4.2

$- x^{2}$ में से $x^{2}$ घटाएं.

$\int_{0}^{2} - 2 x^{2} + 4 x d x$

चरण 4.3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int_{0}^{2} - 2 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 4 x d x$

चरण 4.4

चूँकि $- 2$ बटे $x$ अचर है, $- 2$ को समाकलन से हटा दें.

$- 2 \int_{0}^{2} x^{2} d x + \int_{0}^{2} 4 x d x$

चरण 4.5

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} x^{3}$ है.

$- 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 4 x d x$

चरण 4.6

$\frac{1}{3}$ और $x^{3}$ को मिलाएं.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 4 x d x$

चरण 4.7

चूँकि $4$ बटे $x$ अचर है, $4$ को समाकलन से हटा दें.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 4 \int_{0}^{2} x d x$

चरण 4.8

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2})$

चरण 4.9

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.9.1

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2})$

चरण 4.9.2

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.9.2.1

$2$ पर और $0$ पर $\frac{x^{3}}{3}$ का मान ज्ञात करें.

$- 2 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2})$

चरण 4.9.2.2

$2$ पर और $0$ पर $\frac{x^{2}}{2}$ का मान ज्ञात करें.

$- 2 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

चरण 4.9.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.9.2.3.1

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 2 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

चरण 4.9.2.3.2

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$- 2 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}) + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

चरण 4.9.2.3.3

$0$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.9.2.3.3.1

$0$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$- 2 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

चरण 4.9.2.3.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.9.2.3.3.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$- 2 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

चरण 4.9.2.3.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- 2 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

चरण 4.9.2.3.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 2 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}) + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

चरण 4.9.2.3.3.2.4

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$- 2 (\frac{8}{3} - 0) + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

चरण 4.9.2.3.4

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$- 2 (\frac{8}{3} + 0) + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

चरण 4.9.2.3.5

$\frac{8}{3}$ और $0$ जोड़ें.

$- 2 (\frac{8}{3}) + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

चरण 4.9.2.3.6

$- 2$ और $\frac{8}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{- 2 \cdot 8}{3} + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

चरण 4.9.2.3.7

$- 2$ को $8$ से गुणा करें.

$\frac{- 16}{3} + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

चरण 4.9.2.3.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{16}{3} + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

चरण 4.9.2.3.9

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{16}{3} + 4 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

चरण 4.9.2.3.10

$4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.9.2.3.10.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{16}{3} + 4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

चरण 4.9.2.3.10.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.9.2.3.10.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{16}{3} + 4 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

चरण 4.9.2.3.10.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{16}{3} + 4 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

चरण 4.9.2.3.10.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{16}{3} + 4 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

चरण 4.9.2.3.10.2.4

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$- \frac{16}{3} + 4 (2 - \frac{0^{2}}{2})$

चरण 4.9.2.3.11

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$- \frac{16}{3} + 4 (2 - \frac{0}{2})$

चरण 4.9.2.3.12

$0$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.9.2.3.12.1

$0$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{16}{3} + 4 (2 - \frac{2 (0)}{2})$

चरण 4.9.2.3.12.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.9.2.3.12.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{16}{3} + 4 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

चरण 4.9.2.3.12.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{16}{3} + 4 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

चरण 4.9.2.3.12.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{16}{3} + 4 (2 - \frac{0}{1})$

चरण 4.9.2.3.12.2.4

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$- \frac{16}{3} + 4 (2 - 0)$

चरण 4.9.2.3.13

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$- \frac{16}{3} + 4 (2 + 0)$

चरण 4.9.2.3.14

$2$ और $0$ जोड़ें.

$- \frac{16}{3} + 4 \cdot 2$

चरण 4.9.2.3.15

$4$ को $2$ से गुणा करें.

$- \frac{16}{3} + 8$

चरण 4.9.2.3.16

$8$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$- \frac{16}{3} + 8 \cdot \frac{3}{3}$

चरण 4.9.2.3.17

$8$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$- \frac{16}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3}$

चरण 4.9.2.3.18

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{- 16 + 8 \cdot 3}{3}$

चरण 4.9.2.3.19

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.9.2.3.19.1

$8$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{- 16 + 24}{3}$

चरण 4.9.2.3.19.2

$- 16$ और $24$ जोड़ें.

$\frac{8}{3}$

चरण 5