कैलकुलस उदाहरण

$y = x^{6}$ , $y = 8 x^{3}$

चरण 1

वक्रों के बीच प्रतिच्छेदन ज्ञात करने के लिए प्रतिस्थापन द्वारा हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

प्रत्येक समीकरण के बराबर पक्षों का विलोप करें और संयोजित करें.

$x^{6} = 8 x^{3}$

चरण 1.2

$x$ के लिए $x^{6} = 8 x^{3}$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $8 x^{3}$ घटाएं.

$x^{6} - 8 x^{3} = 0$

चरण 1.2.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

$x^{6}$ को ${(x^{3})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

${(x^{3})}^{2} - 8 x^{3} = 0$

चरण 1.2.2.2

मान लीजिए $u = x^{3}$ . $x^{3}$ की सभी घटनाओं के लिए $u$ को प्रतिस्थापित करें.

$u^{2} - 8 u = 0$

चरण 1.2.2.3

$u^{2} - 8 u$ में से $u$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.3.1

$u^{2}$ में से $u$ का गुणनखंड करें.

$u \cdot u - 8 u = 0$

चरण 1.2.2.3.2

$- 8 u$ में से $u$ का गुणनखंड करें.

$u \cdot u + u \cdot - 8 = 0$

चरण 1.2.2.3.3

$u \cdot u + u \cdot - 8$ में से $u$ का गुणनखंड करें.

$u (u - 8) = 0$

चरण 1.2.2.4

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{3}$ से बदलें.

$x^{3} (x^{3} - 8) = 0$

चरण 1.2.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x^{3} = 0$

$x^{3} - 8 = 0 + y = 8 x^{3}$

चरण 1.2.4

$x^{3}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

$x^{3}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{3} = 0$

चरण 1.2.4.2

$x$ के लिए $x^{3} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

चरण 1.2.4.2.2

$\sqrt[3]{0}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.2.1

$0$ को $0^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

चरण 1.2.4.2.2.2

वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत से पदों को बाहर निकालें.

$x = 0$

चरण 1.2.5

$x^{3} - 8$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.1

$x^{3} - 8$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{3} - 8 = 0$

चरण 1.2.5.2

$x$ के लिए $x^{3} - 8 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $8$ जोड़ें.

$x^{3} = 8$

चरण 1.2.5.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $8$ घटाएं.

$x^{3} - 8 = 0$

चरण 1.2.5.2.3

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.3.1

$8$ को $2^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x^{3} - 2^{3} = 0$

चरण 1.2.5.2.3.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण घन हैं, घन सूत्र के अंतर का उपयोग करने वाले गुणनखंड $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ जहाँ $a = x$ और $b = 2$ हैं.

$(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

चरण 1.2.5.2.3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.3.3.1

$2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2}) = 0$

चरण 1.2.5.2.3.3.2

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

चरण 1.2.5.2.4

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0 + y = 8 x^{3}$

चरण 1.2.5.2.5

$x - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.5.1

$x - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 2 = 0$

चरण 1.2.5.2.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $2$ जोड़ें.

$x = 2$

चरण 1.2.5.2.6

$x^{2} + 2 x + 4$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.6.1

$x^{2} + 2 x + 4$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

चरण 1.2.5.2.6.2

$x$ के लिए $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.6.2.1

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 8 x^{3}$

चरण 1.2.5.2.6.2.2

द्विघात सूत्र में $a = 1$ , $b = 2$ और $c = 4$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $x$ के लिए हल करें.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1} + y = 8 x^{3}$

चरण 1.2.5.2.6.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.6.2.3.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.6.2.3.1.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.5.2.6.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 4$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.6.2.3.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.5.2.6.2.3.1.2.2

$- 4$ को $4$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.5.2.6.2.3.1.3

$4$ में से $16$ घटाएं.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.5.2.6.2.3.1.4

$- 12$ को $- 1 (12)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.5.2.6.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (12)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.5.2.6.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.5.2.6.2.3.1.7

$12$ को $2^{2} \cdot 3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.6.2.3.1.7.1

$12$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.5.2.6.2.3.1.7.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.5.2.6.2.3.1.8

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.5.2.6.2.3.1.9

$2$ को $i$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.5.2.6.2.3.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

चरण 1.2.5.2.6.2.3.3

$\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ को सरल करें.

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

चरण 1.2.5.2.6.2.4

$\pm$ के $+$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.6.2.4.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.6.2.4.1.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.5.2.6.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 4$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.6.2.4.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.5.2.6.2.4.1.2.2

$- 4$ को $4$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.5.2.6.2.4.1.3

$4$ में से $16$ घटाएं.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.5.2.6.2.4.1.4

$- 12$ को $- 1 (12)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.5.2.6.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (12)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.5.2.6.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.5.2.6.2.4.1.7

$12$ को $2^{2} \cdot 3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.6.2.4.1.7.1

$12$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.5.2.6.2.4.1.7.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.5.2.6.2.4.1.8

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.5.2.6.2.4.1.9

$2$ को $i$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.5.2.6.2.4.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

चरण 1.2.5.2.6.2.4.3

$\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ को सरल करें.

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

चरण 1.2.5.2.6.2.4.4

$\pm$ को $+$ में बदलें.

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

चरण 1.2.5.2.6.2.5

$\pm$ के $-$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.6.2.5.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.6.2.5.1.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.5.2.6.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 4$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.6.2.5.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.5.2.6.2.5.1.2.2

$- 4$ को $4$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.5.2.6.2.5.1.3

$4$ में से $16$ घटाएं.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.5.2.6.2.5.1.4

$- 12$ को $- 1 (12)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.5.2.6.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (12)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.5.2.6.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.5.2.6.2.5.1.7

$12$ को $2^{2} \cdot 3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.6.2.5.1.7.1

$12$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.5.2.6.2.5.1.7.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.5.2.6.2.5.1.8

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.5.2.6.2.5.1.9

$2$ को $i$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.5.2.6.2.5.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

चरण 1.2.5.2.6.2.5.3

$\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ को सरल करें.

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

चरण 1.2.5.2.6.2.5.4

$\pm$ को $-$ में बदलें.

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

चरण 1.2.5.2.6.2.6

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

चरण 1.2.5.2.7

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

चरण 1.2.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $x^{3} (x^{3} - 8) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 0, 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

चरण 1.3

$y$ का मूल्यांकन करें जब $x = 0$ हो.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$0$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = 8 {(0)}^{3}$

चरण 1.3.2

$0$ को $x$ के लिए $y = 8 {(0)}^{3}$ में प्रतिस्थापित करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$y = 8 \cdot 0^{3}$

चरण 1.3.2.2

$8 \cdot 0^{3}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.2.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$y = 8 \cdot 0$

चरण 1.3.2.2.2

$8$ को $0$ से गुणा करें.

$y = 0$

चरण 1.4

$y$ का मूल्यांकन करें जब $x = 2$ हो.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$2$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = 8 {(2)}^{3}$

चरण 1.4.2

$2$ को $x$ के लिए $y = 8 {(2)}^{3}$ में प्रतिस्थापित करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$y = 8 \cdot 2^{3}$

चरण 1.4.2.2

$8 \cdot 2^{3}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.2.1

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = 8 \cdot 8$

चरण 1.4.2.2.2

$8$ को $8$ से गुणा करें.

$y = 64$

चरण 1.5

सभी हलों की सूची बनाएंं.

$y = 0, x = 0$

$y = 64, x = 2$

$y = 64, x = - 1 + i \sqrt{3}$

$y = 64, x = - 1 - i \sqrt{3}$

$y = 0, x = 0$

$y = 64, x = 2$

$y = 64, x = - 1 + i \sqrt{3}$

$y = 64, x = - 1 - i \sqrt{3}$

चरण 2

दिए गए वक्रों के बीच का क्षेत्र असीम है.

असीमित क्षेत्र

चरण 3