कैलकुलस उदाहरण

$y = x^{2} - 2 x$ , $y = x + 4$

चरण 1

वक्रों के बीच प्रतिच्छेदन ज्ञात करने के लिए प्रतिस्थापन द्वारा हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

प्रत्येक समीकरण के बराबर पक्षों का विलोप करें और संयोजित करें.

$x^{2} - 2 x = x + 4$

चरण 1.2

$x$ के लिए $x^{2} - 2 x = x + 4$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

$x$ वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं ओर ले जाएँ.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $x$ घटाएं.

$x^{2} - 2 x - x = 4$

चरण 1.2.1.2

$- 2 x$ में से $x$ घटाएं.

$x^{2} - 3 x = 4$

चरण 1.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $4$ घटाएं.

$x^{2} - 3 x - 4 = 0$

चरण 1.2.3

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} - 3 x - 4$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $- 4$ है और जिसका योग $- 3$ है.

$- 4, 1 + y = x + 4$

चरण 1.2.3.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$(x - 4) (x + 1) = 0$

चरण 1.2.4

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0 + y = x + 4$

चरण 1.2.5

$x - 4$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.1

$x - 4$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 4 = 0$

चरण 1.2.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $4$ जोड़ें.

$x = 4$

चरण 1.2.6

$x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.1

$x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 1 = 0$

चरण 1.2.6.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$x = - 1$

चरण 1.2.7

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(x - 4) (x + 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 4, - 1$

चरण 1.3

$y$ का मूल्यांकन करें जब $x = 4$ हो.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$4$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = (4) + 4$

चरण 1.3.2

$4$ को $x$ के लिए $y = (4) + 4$ में प्रतिस्थापित करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$y = 4 + 4$

चरण 1.3.2.2

कोष्ठक हटा दें.

$y = (4) + 4$

चरण 1.3.2.3

$4$ और $4$ जोड़ें.

$y = 8$

चरण 1.4

$y$ का मूल्यांकन करें जब $x = - 1$ हो.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$- 1$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = (- 1) + 4$

चरण 1.4.2

$- 1$ को $x$ के लिए $y = (- 1) + 4$ में प्रतिस्थापित करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$y = - 1 + 4$

चरण 1.4.2.2

कोष्ठक हटा दें.

$y = (- 1) + 4$

चरण 1.4.2.3

$- 1$ और $4$ जोड़ें.

$y = 3$

चरण 1.5

सिस्टम का हल क्रमित युग्म का पूरा सेट है जो मान्य हल हैं.

$(4, 8)$

$(- 1, 3)$

$(4, 8)$

$(- 1, 3)$

चरण 2

वक्रों के बीच के क्षेत्र के क्षेत्रफल को ऊपरी वक्र के अवकलन से निचले वक्र के अवकलन को घटाने के रूप में परिभाषित किया जाता है. क्षेत्रों का निर्धारण वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं द्वारा किया जाता है. यह बीजगणितीय या आलेखीय रूप से किया जा सकता है.

$A r e a = \int_{- 1}^{4} x + 4 d x - \int_{- 1}^{4} x^{2} - 2 x d x$

चरण 3

$- 1$ और $4$ के बीच के क्षेत्र को पता करने के लिए समेकित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समाकलन को एकल समाकलन में जोड़ें.

$\int_{- 1}^{4} x + 4 - (x^{2} - 2 x) d x$

चरण 3.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x + 4 - x^{2} - (- 2 x)$

चरण 3.2.2

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$x + 4 - x^{2} + 2 x$

$\int_{- 1}^{4} x + 4 - x^{2} + 2 x d x$

चरण 3.3

$x$ और $2 x$ जोड़ें.

$\int_{- 1}^{4} 3 x + 4 - x^{2} d x$

चरण 3.4

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int_{- 1}^{4} 3 x d x + \int_{- 1}^{4} 4 d x + \int_{- 1}^{4} - x^{2} d x$

चरण 3.5

चूँकि $3$ बटे $x$ अचर है, $3$ को समाकलन से हटा दें.

$3 \int_{- 1}^{4} x d x + \int_{- 1}^{4} 4 d x + \int_{- 1}^{4} - x^{2} d x$

चरण 3.6

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} 4 d x + \int_{- 1}^{4} - x^{2} d x$

चरण 3.7

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} 4 d x + \int_{- 1}^{4} - x^{2} d x$

चरण 3.8

स्थिरांक नियम लागू करें.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) + 4 x]_{- 1}^{4} + \int_{- 1}^{4} - x^{2} d x$

चरण 3.9

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) + 4 x]_{- 1}^{4} - \int_{- 1}^{4} x^{2} d x$

चरण 3.10

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} x^{3}$ है.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) + 4 x]_{- 1}^{4} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{4})$

चरण 3.11

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.11.1

$\frac{1}{3}$ और $x^{3}$ को मिलाएं.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) + 4 x]_{- 1}^{4} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{4})$

चरण 3.11.2

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.11.2.1

$4$ पर और $- 1$ पर $\frac{x^{2}}{2}$ का मान ज्ञात करें.

$3 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 x]_{- 1}^{4} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{4})$

चरण 3.11.2.2

$4$ पर और $- 1$ पर $4 x$ का मान ज्ञात करें.

$3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{4})$

चरण 3.11.2.3

$4$ पर और $- 1$ पर $\frac{x^{3}}{3}$ का मान ज्ञात करें.

$3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

चरण 3.11.2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.11.2.4.1

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$3 (\frac{16}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

चरण 3.11.2.4.2

$16$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.11.2.4.2.1

$16$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

चरण 3.11.2.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.11.2.4.2.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

चरण 3.11.2.4.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

चरण 3.11.2.4.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$3 (\frac{8}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

चरण 3.11.2.4.2.2.4

$8$ को $1$ से विभाजित करें.

$3 (8 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

चरण 3.11.2.4.3

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$3 (8 - \frac{1}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

चरण 3.11.2.4.4

$8$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$3 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

चरण 3.11.2.4.5

$8$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$3 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

चरण 3.11.2.4.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$3 \frac{8 \cdot 2 - 1}{2} + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

चरण 3.11.2.4.7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.11.2.4.7.1

$8$ को $2$ से गुणा करें.

$3 \frac{16 - 1}{2} + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

चरण 3.11.2.4.7.2

$16$ में से $1$ घटाएं.

$3 (\frac{15}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

चरण 3.11.2.4.8

$3$ और $\frac{15}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{3 \cdot 15}{2} + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

चरण 3.11.2.4.9

$3$ को $15$ से गुणा करें.

$\frac{45}{2} + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

चरण 3.11.2.4.10

$4$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{45}{2} + 16 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

चरण 3.11.2.4.11

$- 4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{45}{2} + 16 + 4 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

चरण 3.11.2.4.12

$16$ और $4$ जोड़ें.

$\frac{45}{2} + 20 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

चरण 3.11.2.4.13

$20$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{45}{2} + 20 \cdot \frac{2}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

चरण 3.11.2.4.14

$20$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{45}{2} + \frac{20 \cdot 2}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

चरण 3.11.2.4.15

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{45 + 20 \cdot 2}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

चरण 3.11.2.4.16

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.11.2.4.16.1

$20$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{45 + 40}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

चरण 3.11.2.4.16.2

$45$ और $40$ जोड़ें.

$\frac{85}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

चरण 3.11.2.4.17

$4$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{85}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

चरण 3.11.2.4.18

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{85}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{- 1}{3})$

चरण 3.11.2.4.19

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{85}{2} - (\frac{64}{3} - - \frac{1}{3})$

चरण 3.11.2.4.20

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{85}{2} - (\frac{64}{3} + 1 (\frac{1}{3}))$

चरण 3.11.2.4.21

$\frac{1}{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{85}{2} - (\frac{64}{3} + \frac{1}{3})$

चरण 3.11.2.4.22

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{85}{2} - \frac{64 + 1}{3}$

चरण 3.11.2.4.23

$64$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{85}{2} - \frac{65}{3}$

चरण 3.11.2.4.24

$\frac{85}{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{85}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{65}{3}$

चरण 3.11.2.4.25

$- \frac{65}{3}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{85}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{65}{3} \cdot \frac{2}{2}$

चरण 3.11.2.4.26

प्रत्येक व्यंजक को $6$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.11.2.4.26.1

$\frac{85}{2}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{85 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{65}{3} \cdot \frac{2}{2}$

चरण 3.11.2.4.26.2

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{85 \cdot 3}{6} - \frac{65}{3} \cdot \frac{2}{2}$

चरण 3.11.2.4.26.3

$\frac{65}{3}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{85 \cdot 3}{6} - \frac{65 \cdot 2}{3 \cdot 2}$

चरण 3.11.2.4.26.4

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{85 \cdot 3}{6} - \frac{65 \cdot 2}{6}$

चरण 3.11.2.4.27

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{85 \cdot 3 - 65 \cdot 2}{6}$

चरण 3.11.2.4.28

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.11.2.4.28.1

$85$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{255 - 65 \cdot 2}{6}$

चरण 3.11.2.4.28.2

$- 65$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{255 - 130}{6}$

चरण 3.11.2.4.28.3

$255$ में से $130$ घटाएं.

$\frac{125}{6}$

चरण 4