कैलकुलस उदाहरण

$y = e^{0.4 x}$ , $y = 5 + x^{2}$ , $x = 2$ , $x = 3$

चरण 1

वक्रों के बीच प्रतिच्छेदन ज्ञात करने के लिए प्रतिस्थापन द्वारा हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

प्रत्येक समीकरण के बराबर पक्षों का विलोप करें और संयोजित करें.

$e^{0.4 x} = 5 + x^{2}$

चरण 1.2

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को ग्राफ करें. हल प्रतिच्छेदन बिंदु का x-मान है.

$x \approx 12.83601099 + y = 5 + x^{2}$

चरण 1.3

$y$ का मूल्यांकन करें जब $x = 12.83601099$ हो.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$12.83601099$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = 5 + {(12.83601099)}^{2}$

चरण 1.3.2

$12.83601099$ को $x$ के लिए $y = 5 + {(12.83601099)}^{2}$ में प्रतिस्थापित करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$y = 5 + {12.83601099}^{2}$

चरण 1.3.2.2

कोष्ठक हटा दें.

$y = 5 + {(12.83601099)}^{2}$

चरण 1.3.2.3

$5 + {(12.83601099)}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.3.1

$12.83601099$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = 5 + 164.76317813$

चरण 1.3.2.3.2

$5$ और $164.76317813$ जोड़ें.

$y = 169.76317813$

चरण 1.4

सिस्टम का हल क्रमित युग्म का पूरा सेट है जो मान्य हल हैं.

$(12.83601099, 169.76317813)$

चरण 2

$5$ और $x^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$y = x^{2} + 5$

चरण 3

वक्रों के बीच के क्षेत्र के क्षेत्रफल को ऊपरी वक्र के अवकलन से निचले वक्र के अवकलन को घटाने के रूप में परिभाषित किया जाता है. क्षेत्रों का निर्धारण वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं द्वारा किया जाता है. यह बीजगणितीय या आलेखीय रूप से किया जा सकता है.

$A r e a = \int_{2}^{3} x^{2} + 5 d x - \int_{2}^{3} e^{0.4 x} d x$

चरण 4

$2$ और $3$ के बीच के क्षेत्र को पता करने के लिए समेकित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

समाकलन को एकल समाकलन में जोड़ें.

$\int_{2}^{3} x^{2} + 5 - (e^{0.4 x}) d x$

चरण 4.2

$- 1$ को $e^{0.4 x}$ से गुणा करें.

$\int_{2}^{3} x^{2} + 5 - e^{0.4 x} d x$

चरण 4.3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int_{2}^{3} x^{2} d x + \int_{2}^{3} 5 d x + \int_{2}^{3} - e^{0.4 x} d x$

चरण 4.4

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} x^{3}$ है.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + \int_{2}^{3} 5 d x + \int_{2}^{3} - e^{0.4 x} d x$

चरण 4.5

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} + \int_{2}^{3} - e^{0.4 x} d x$

चरण 4.6

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} - \int_{2}^{3} e^{0.4 x} d x$

चरण 4.7

मान लीजिए $u = 0.4 x$ .फिर $d u = 0.4 d x$ , तो $\frac{1}{0.4} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.1

मान लें $u = 0.4 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.1.1

$0.4 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [0.4 x]$

चरण 4.7.1.2

चूंकि $0.4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $0.4 x$ का व्युत्पन्न $0.4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$0.4 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 4.7.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$0.4 \cdot 1$

चरण 4.7.1.4

$0.4$ को $1$ से गुणा करें.

$0.4$

चरण 4.7.2

$x$ के लिए $u = 0.4 x$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 0.4 \cdot 2$

चरण 4.7.3

$0.4$ को $2$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0.8$

चरण 4.7.4

$x$ के लिए $u = 0.4 x$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 0.4 \cdot 3$

चरण 4.7.5

$0.4$ को $3$ से गुणा करें.

$u_{upper} = 1.2$

चरण 4.7.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0.8$

$u_{upper} = 1.2$

चरण 4.7.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} - \int_{0.8}^{1.2} e^{u} \frac{1}{0.4} d u$

चरण 4.8

$e^{u}$ और $\frac{1}{0.4}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} - \int_{0.8}^{1.2} \frac{e^{u}}{0.4} d u$

चरण 4.9

चूँकि $\frac{1}{0.4}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{0.4}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} - (\frac{1}{0.4} \int_{0.8}^{1.2} e^{u} d u)$

चरण 4.10

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} - \frac{1}{0.4} e^{u}]_{0.8}^{1.2}$

चरण 4.11

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3}$ और $5 x]_{2}^{3}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{3} x^{3} + 5 x]_{2}^{3} - \frac{1}{0.4} e^{u}]_{0.8}^{1.2}$

चरण 4.12

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.12.1

$3$ पर और $2$ पर $\frac{1}{3} x^{3} + 5 x$ का मान ज्ञात करें.

$(\frac{1}{3} \cdot 3^{3} + 5 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} e^{u}]_{0.8}^{1.2}$

चरण 4.12.2

$1.2$ पर और $0.8$ पर $e^{u}$ का मान ज्ञात करें.

$(\frac{1}{3} \cdot 3^{3} + 5 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

चरण 4.12.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.12.3.1

$3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{3} \cdot 27 + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

चरण 4.12.3.2

$\frac{1}{3}$ और $27$ को मिलाएं.

$\frac{27}{3} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

चरण 4.12.3.3

$27$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.12.3.3.1

$27$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 \cdot 9}{3} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

चरण 4.12.3.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.12.3.3.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

चरण 4.12.3.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

चरण 4.12.3.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{9}{1} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

चरण 4.12.3.3.2.4

$9$ को $1$ से विभाजित करें.

$9 + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

चरण 4.12.3.4

$5$ को $3$ से गुणा करें.

$9 + 15 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

चरण 4.12.3.5

$9$ और $15$ जोड़ें.

$24 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

चरण 4.12.3.6

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$24 - (\frac{1}{3} \cdot 8 + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

चरण 4.12.3.7

$\frac{1}{3}$ और $8$ को मिलाएं.

$24 - (\frac{8}{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

चरण 4.12.3.8

$5$ को $2$ से गुणा करें.

$24 - (\frac{8}{3} + 10) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

चरण 4.12.3.9

$10$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$24 - (\frac{8}{3} + 10 \cdot \frac{3}{3}) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

चरण 4.12.3.10

$10$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$24 - (\frac{8}{3} + \frac{10 \cdot 3}{3}) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

चरण 4.12.3.11

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$24 - \frac{8 + 10 \cdot 3}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

चरण 4.12.3.12

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.12.3.12.1

$10$ को $3$ से गुणा करें.

$24 - \frac{8 + 30}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

चरण 4.12.3.12.2

$8$ और $30$ जोड़ें.

$24 - \frac{38}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

चरण 4.12.3.13

$24$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$24 \cdot \frac{3}{3} - \frac{38}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

चरण 4.12.3.14

$24$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{24 \cdot 3}{3} - \frac{38}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

चरण 4.12.3.15

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{24 \cdot 3 - 38}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

चरण 4.12.3.16

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.12.3.16.1

$24$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{72 - 38}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

चरण 4.12.3.16.2

$72$ में से $38$ घटाएं.

$\frac{34}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

चरण 4.12.3.17

$- \frac{1}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8})$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{34}{3} - \frac{1}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8}) \cdot \frac{3}{3}$

चरण 4.12.3.18

$- \frac{1}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8})$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{34}{3} + \frac{- \frac{1}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8}) \cdot 3}{3}$

चरण 4.12.3.19

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{34 - \frac{1}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8}) \cdot 3}{3}$

चरण 4.12.3.20

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{34 - 3 (\frac{1}{0.4}) (e^{1.2} - e^{0.8})}{3}$

चरण 4.12.3.21

$- 3$ और $\frac{1}{0.4}$ को मिलाएं.

$\frac{34 + \frac{- 3}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8})}{3}$

चरण 4.12.3.22

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{34 - \frac{3}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8})}{3}$

चरण 4.13

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.13.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.13.1.1

$3$ को $0.4$ से विभाजित करें.

$\frac{34 - 1 \cdot 7.5 (e^{1.2} - e^{0.8})}{3}$

चरण 4.13.1.2

$- 1$ को $7.5$ से गुणा करें.

$\frac{34 - 7.5 (e^{1.2} - e^{0.8})}{3}$

चरण 4.13.1.3

$- 7.5$ को $e^{1.2} - e^{0.8}$ से गुणा करें.

$\frac{34 - 8.20931995}{3}$

चरण 4.13.1.4

$34$ में से $8.20931995$ घटाएं.

$\frac{25.79068004}{3}$

चरण 4.13.2

$25.79068004$ को $3$ से विभाजित करें.

$8.59689334$

चरण 5