कैलकुलस उदाहरण

$y^{2} = 2 x$ , $x = 2 y$

चरण 1

ठोस का आयतन ज्ञात करने के लिए, पहले प्रत्येक स्लाइस के क्षेत्र को परिभाषित करें और फिर पूरे रेंज में एकीकृत करें. प्रत्येक स्लाइस का क्षेत्रफल $f (y)$ और $A = π r^{2}$ त्रिज्या वाले वृत्तों का क्षेत्रफल है.

$V = π \int_{0}^{4} {(f (y))}^{2} - {(g (y))}^{2} d y$ जहां $f (y) = 2 y$ और $g (y) = \frac{y^{2}}{2}$

चरण 2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

उत्पाद नियम को $2 y$ पर लागू करें.

$V = 2^{2} y^{2} - {(\frac{y^{2}}{2})}^{2}$

चरण 2.2

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$V = 4 y^{2} - {(\frac{y^{2}}{2})}^{2}$

चरण 2.3

उत्पाद नियम को $\frac{y^{2}}{2}$ पर लागू करें.

$V = 4 y^{2} - \frac{{(y^{2})}^{2}}{2^{2}}$

चरण 2.4

घातांक को ${(y^{2})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 4 y^{2} - \frac{y^{2 \cdot 2}}{2^{2}}$

चरण 2.4.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$V = 4 y^{2} - \frac{y^{4}}{2^{2}}$

चरण 2.5

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$V = 4 y^{2} - \frac{y^{4}}{4}$

चरण 3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$V = π (\int_{0}^{4} 4 y^{2} d y + \int_{0}^{4} - \frac{y^{4}}{4} d y)$

चरण 4

चूँकि $4$ बटे $y$ अचर है, $4$ को समाकलन से हटा दें.

$V = π (4 \int_{0}^{4} y^{2} d y + \int_{0}^{4} - \frac{y^{4}}{4} d y)$

चरण 5

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} y^{3}$ है.

$V = π (4 (\frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - \frac{y^{4}}{4} d y)$

चरण 6

$\frac{1}{3}$ और $y^{3}$ को मिलाएं.

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - \frac{y^{4}}{4} d y)$

चरण 7

चूँकि $- 1$ बटे $y$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) - \int_{0}^{4} \frac{y^{4}}{4} d y)$

चरण 8

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $y$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) - (\frac{1}{4} \cdot \int_{0}^{4} y^{4} d y))$

चरण 9

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{4}$ का समाकलन $\frac{1}{5} y^{5}$ है.

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5} y^{5}]_{0}^{4})$

चरण 10

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.1

$\frac{1}{5}$ और $y^{5}$ को मिलाएं.

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot \frac{y^{5}}{5}]_{0}^{4})$

चरण 10.1.2

$\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{4}$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) - \frac{\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{4}}{4})$

चरण 10.2

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

$4$ पर और $0$ पर $\frac{y^{3}}{3}$ का मान ज्ञात करें.

$V = π (4 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - \frac{\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{4}}{4})$

चरण 10.2.2

$4$ पर और $0$ पर $\frac{y^{5}}{5}$ का मान ज्ञात करें.

$V = π (4 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

चरण 10.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.3.1

$4$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

चरण 10.2.3.2

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{0}{3}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

चरण 10.2.3.3

$0$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.3.3.1

$0$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

चरण 10.2.3.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.3.3.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

चरण 10.2.3.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

चरण 10.2.3.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{0}{1}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

चरण 10.2.3.3.2.4

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$V = π (4 (\frac{64}{3} - 0) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

चरण 10.2.3.4

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$V = π (4 (\frac{64}{3} + 0) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

चरण 10.2.3.5

$\frac{64}{3}$ और $0$ जोड़ें.

$V = π (4 (\frac{64}{3}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

चरण 10.2.3.6

$4$ और $\frac{64}{3}$ को मिलाएं.

$V = π (\frac{4 \cdot 64}{3} - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

चरण 10.2.3.7

$4$ को $64$ से गुणा करें.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

चरण 10.2.3.8

$4$ को $5$ के घात तक बढ़ाएं.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

चरण 10.2.3.9

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{0}{5}}{4})$

चरण 10.2.3.10

$0$ और $5$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.3.10.1

$0$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{5 (0)}{5}}{4})$

चरण 10.2.3.10.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.3.10.2.1

$5$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}}{4})$

चरण 10.2.3.10.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}}{4})$

चरण 10.2.3.10.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{0}{1}}{4})$

चरण 10.2.3.10.2.4

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - 0}{4})$

चरण 10.2.3.11

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} + 0}{4})$

चरण 10.2.3.12

$\frac{1024}{5}$ और $0$ जोड़ें.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5}}{4})$

चरण 10.2.3.13

एक गुणनफल के रूप में $\frac{\frac{1024}{5}}{4}$ को फिर से लिखें.

$V = π (\frac{256}{3} - (\frac{1024}{5} \cdot \frac{1}{4}))$

चरण 10.2.3.14

$\frac{1024}{5}$ को $\frac{1}{4}$ से गुणा करें.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{1024}{5 \cdot 4})$

चरण 10.2.3.15

$5$ को $4$ से गुणा करें.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{1024}{20})$

चरण 10.2.3.16

$1024$ और $20$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.3.16.1

$1024$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{4 (256)}{20})$

चरण 10.2.3.16.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.3.16.2.1

$20$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{4 \cdot 256}{4 \cdot 5})$

चरण 10.2.3.16.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{4 \cdot 256}{4 \cdot 5})$

चरण 10.2.3.16.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{256}{5})$

चरण 10.2.3.17

$\frac{256}{3}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{5}{5}$ से गुणा करें.

$V = π (\frac{256}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{256}{5})$

चरण 10.2.3.18

$- \frac{256}{5}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$V = π (\frac{256}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{256}{5} \cdot \frac{3}{3})$

चरण 10.2.3.19

प्रत्येक व्यंजक को $15$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.3.19.1

$\frac{256}{3}$ को $\frac{5}{5}$ से गुणा करें.

$V = π (\frac{256 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{256}{5} \cdot \frac{3}{3})$

चरण 10.2.3.19.2

$3$ को $5$ से गुणा करें.

$V = π (\frac{256 \cdot 5}{15} - \frac{256}{5} \cdot \frac{3}{3})$

चरण 10.2.3.19.3

$\frac{256}{5}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$V = π (\frac{256 \cdot 5}{15} - \frac{256 \cdot 3}{5 \cdot 3})$

चरण 10.2.3.19.4

$5$ को $3$ से गुणा करें.

$V = π (\frac{256 \cdot 5}{15} - \frac{256 \cdot 3}{15})$

चरण 10.2.3.20

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$V = π (\frac{256 \cdot 5 - 256 \cdot 3}{15})$

चरण 10.2.3.21

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.3.21.1

$256$ को $5$ से गुणा करें.

$V = π (\frac{1280 - 256 \cdot 3}{15})$

चरण 10.2.3.21.2

$- 256$ को $3$ से गुणा करें.

$V = π (\frac{1280 - 768}{15})$

चरण 10.2.3.21.3

$1280$ में से $768$ घटाएं.

$V = π (\frac{512}{15})$

चरण 10.2.3.22

$π$ और $\frac{512}{15}$ को मिलाएं.

$V = \frac{π \cdot 512}{15}$

चरण 10.2.3.23

$512$ को $π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$V = \frac{512 π}{15}$

चरण 11

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$V = \frac{512 π}{15}$

दशमलव रूप:

$V = 107.23302924 \dots$

चरण 12