कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{2 x + 1}{x + 2}$ , $(1, 1)$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = 1$ और $y = 1$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = 2 x + 1$ और $g (x) = x + 2$ है.

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [2 x + 1] - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{(x + 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 1.2.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{(x + 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 1.2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{(x + 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 1.2.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{(x + 2) (2 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 1.2.5

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(x + 2) (2 + 0) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 1.2.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.1

$2$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{(x + 2) \cdot 2 - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 1.2.6.2

$2$ को $x + 2$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{2 \cdot (x + 2) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 1.2.7

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ है.

$\frac{2 (x + 2) - (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 1.2.8

$\frac{2 (x + 2) - (2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 1.2.9

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{2 (x + 2) - (2 x + 1) (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 1.2.10

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.10.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{2 (x + 2) - (2 x + 1) \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 1.2.10.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2 (x + 2) - (2 x + 1)}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x + 2 \cdot 2 - (2 x + 1)}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 1.3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x + 2 \cdot 2 - (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 1.3.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.1.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{2 x + 4 - (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 1.3.3.1.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{2 x + 4 - 2 x - 1 \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 1.3.3.1.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2 x + 4 - 2 x - 1}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 1.3.3.2

$2 x + 4 - 2 x - 1$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.2.1

$2 x$ में से $2 x$ घटाएं.

$\frac{0 + 4 - 1}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 1.3.3.2.2

$0$ और $4$ जोड़ें.

$\frac{4 - 1}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 1.3.3.3

$4$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{3}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 1.4

$x = 1$ पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

$\frac{3}{{((1) + 2)}^{2}}$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1.1

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{3}{3^{2}}$

चरण 1.5.1.2

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{3}{9}$

चरण 1.5.2

$3$ और $9$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (1)}{9}$

चरण 1.5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.2.1

$9$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

चरण 1.5.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

चरण 1.5.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{3}$

चरण 2

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

ढलान $\frac{1}{3}$ और दिए गए बिंदु $(1, 1)$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (1) = \frac{1}{3} \cdot (x - (1))$

चरण 2.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y - 1 = \frac{1}{3} \cdot (x - 1)$

चरण 2.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$\frac{1}{3} \cdot (x - 1)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

फिर से लिखें.

$y - 1 = 0 + 0 + \frac{1}{3} \cdot (x - 1)$

चरण 2.3.1.2

शून्य जोड़कर सरल करें.

$y - 1 = \frac{1}{3} \cdot (x - 1)$

चरण 2.3.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y - 1 = \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 1$

चरण 2.3.1.4

$\frac{1}{3}$ और $x$ को मिलाएं.

$y - 1 = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 1$

चरण 2.3.1.5

$\frac{1}{3}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$y - 1 = \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3}$

चरण 2.3.1.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y - 1 = \frac{x}{3} - \frac{1}{3}$

चरण 2.3.2

$y$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$y = \frac{x}{3} - \frac{1}{3} + 1$

चरण 2.3.2.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$y = \frac{x}{3} - \frac{1}{3} + \frac{3}{3}$

चरण 2.3.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 1 + 3}{3}$

चरण 2.3.2.4

$- 1$ और $3$ जोड़ें.

$y = \frac{x}{3} + \frac{2}{3}$

चरण 2.3.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y = \frac{1}{3} x + \frac{2}{3}$

चरण 3