कैलकुलस उदाहरण

$4 x y^{3} + 5 x y = 36$ , $(4, 1)$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = 4$ और $y = 1$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (4 x y^{3} + 5 x y) = \frac{d}{d x} (36)$

चरण 1.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 x y^{3} + 5 x y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x y]$ है.

$\frac{d}{d x} [4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x y]$

चरण 1.2.2

$\frac{d}{d x} [4 x y^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x y^{3}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ है.

$4 \frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x y]$

चरण 1.2.2.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = y^{3}$ है.

$4 (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

चरण 1.2.2.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$4 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

चरण 1.2.2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$4 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

चरण 1.2.2.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$4 (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

चरण 1.2.2.4

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$4 (x (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

चरण 1.2.2.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$4 (x (3 y^{2} y') + y^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

चरण 1.2.2.6

$3$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$4 (3 \cdot x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

चरण 1.2.2.7

$y^{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$4 (3 x y^{2} y' + y^{3}) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

चरण 1.2.3

$\frac{d}{d x} [5 x y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 x y$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [x y]$ है.

$4 (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 5 \frac{d}{d x} [x y]$

चरण 1.2.3.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = y$ है.

$4 (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 5 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$4 (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 5 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.2.3.4

$4 (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 5 (x y' + y \cdot 1)$

चरण 1.2.3.5

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$4 (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 5 (x y' + y)$

चरण 1.2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$4 (3 x y^{2} y') + 4 y^{3} + 5 (x y' + y)$

चरण 1.2.4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$4 (3 x y^{2} y') + 4 y^{3} + 5 (x y') + 5 y$

चरण 1.2.4.3

$3$ को $4$ से गुणा करें.

$12 x y^{2} y' + 4 y^{3} + 5 x y' + 5 y$

चरण 1.2.4.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$4 y^{3} + 12 y^{2} x y' + 5 x y' + 5 y$

चरण 1.3

चूंकि $x$ के संबंध में $36$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $36$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0$

चरण 1.4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$4 y^{3} + 12 y^{2} x y' + 5 x y' + 5 y = 0$

चरण 1.5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$y'$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $4 y^{3}$ घटाएं.

$12 y^{2} x y' + 5 x y' + 5 y = - 4 y^{3}$

चरण 1.5.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $5 y$ घटाएं.

$12 y^{2} x y' + 5 x y' = - 4 y^{3} - 5 y$

चरण 1.5.2

$12 y^{2} x y' + 5 x y'$ में से $x y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.1

$12 y^{2} x y'$ में से $x y'$ का गुणनखंड करें.

$x y' (12 y^{2}) + 5 x y' = - 4 y^{3} - 5 y$

चरण 1.5.2.2

$5 x y'$ में से $x y'$ का गुणनखंड करें.

$x y' (12 y^{2}) + x y' \cdot 5 = - 4 y^{3} - 5 y$

चरण 1.5.2.3

$x y' (12 y^{2}) + x y' \cdot 5$ में से $x y'$ का गुणनखंड करें.

$x y' (12 y^{2} + 5) = - 4 y^{3} - 5 y$

चरण 1.5.3

$x y' (12 y^{2} + 5) = - 4 y^{3} - 5 y$ के प्रत्येक पद को $x (12 y^{2} + 5)$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.1

$x y' (12 y^{2} + 5) = - 4 y^{3} - 5 y$ के प्रत्येक पद को $x (12 y^{2} + 5)$ से विभाजित करें.

$\frac{x y' (12 y^{2} + 5)}{x (12 y^{2} + 5)} = \frac{- 4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} + \frac{- 5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

चरण 1.5.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.2.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x y' (12 y^{2} + 5)}{x (12 y^{2} + 5)} = \frac{- 4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} + \frac{- 5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

चरण 1.5.3.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y' (12 y^{2} + 5)}{12 y^{2} + 5} = \frac{- 4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} + \frac{- 5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

चरण 1.5.3.2.2

$12 y^{2} + 5$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' (12 y^{2} + 5)}{12 y^{2} + 5} = \frac{- 4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} + \frac{- 5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

चरण 1.5.3.2.2.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{- 4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} + \frac{- 5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

चरण 1.5.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.3.1.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = - \frac{4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} + \frac{- 5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

चरण 1.5.3.3.1.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = - \frac{4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} - \frac{5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

चरण 1.6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} - \frac{5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

चरण 1.7

$x = 4$ और $y = 1$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1

व्यंजक में चर $x$ को $4$ से बदलें.

$- \frac{4 y^{3}}{(4) (12 y^{2} + 5)} - \frac{5 y}{(4) (12 y^{2} + 5)}$

चरण 1.7.2

व्यंजक में चर $y$ को $1$ से बदलें.

$- \frac{4 {(1)}^{3}}{(4) (12 {(1)}^{2} + 5)} - \frac{5 (1)}{(4) (12 {(1)}^{2} + 5)}$

चरण 1.7.3

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.3.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{- 4 {(1)}^{3} - 5 \cdot 1}{4 (12 {(1)}^{2} + 5)}$

चरण 1.7.3.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.3.2.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{- 4 \cdot 1 - 5 \cdot 1}{4 (12 {(1)}^{2} + 5)}$

चरण 1.7.3.2.2

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{- 4 - 5 \cdot 1}{4 (12 {(1)}^{2} + 5)}$

चरण 1.7.3.2.3

$- 5$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{- 4 - 5}{4 (12 {(1)}^{2} + 5)}$

चरण 1.7.3.3

$- 4$ में से $5$ घटाएं.

$\frac{- 9}{4 (12 {(1)}^{2} + 5)}$

चरण 1.7.4

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.4.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{- 9}{4 (12 \cdot 1 + 5)}$

चरण 1.7.4.2

$12$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{- 9}{4 (12 + 5)}$

चरण 1.7.4.3

$12$ और $5$ जोड़ें.

$\frac{- 9}{4 \cdot 17}$

चरण 1.7.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.5.1

$4$ को $17$ से गुणा करें.

$\frac{- 9}{68}$

चरण 1.7.5.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{9}{68}$

चरण 2

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

ढलान $- \frac{9}{68}$ और दिए गए बिंदु $(4, 1)$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (1) = - \frac{9}{68} \cdot (x - (4))$

चरण 2.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y - 1 = - \frac{9}{68} \cdot (x - 4)$

चरण 2.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$- \frac{9}{68} \cdot (x - 4)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

फिर से लिखें.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{9}{68} \cdot (x - 4)$

चरण 2.3.1.2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y - 1 = - \frac{9}{68} x - \frac{9}{68} \cdot - 4$

चरण 2.3.1.2.2

$x$ और $\frac{9}{68}$ को मिलाएं.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} - \frac{9}{68} \cdot - 4$

चरण 2.3.1.2.3

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.2.3.1

$- \frac{9}{68}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{- 9}{68} \cdot - 4$

चरण 2.3.1.2.3.2

$68$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{- 9}{4 (17)} \cdot - 4$

चरण 2.3.1.2.3.3

$- 4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{- 9}{4 \cdot 17} \cdot (4 \cdot - 1)$

चरण 2.3.1.2.3.4

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{- 9}{4 \cdot 17} \cdot (4 \cdot - 1)$

चरण 2.3.1.2.3.5

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{- 9}{17} \cdot - 1$

चरण 2.3.1.2.4

$\frac{- 9}{17}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{- 9 \cdot - 1}{17}$

चरण 2.3.1.2.5

$- 9$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{9}{17}$

चरण 2.3.1.3

$9$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y - 1 = - \frac{9 x}{68} + \frac{9}{17}$

चरण 2.3.2

$y$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$y = - \frac{9 x}{68} + \frac{9}{17} + 1$

चरण 2.3.2.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$y = - \frac{9 x}{68} + \frac{9}{17} + \frac{17}{17}$

चरण 2.3.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = - \frac{9 x}{68} + \frac{9 + 17}{17}$

चरण 2.3.2.4

$9$ और $17$ जोड़ें.

$y = - \frac{9 x}{68} + \frac{26}{17}$

चरण 2.3.3

$y = m x + b$ रूप में लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y = - (\frac{9}{68} x) + \frac{26}{17}$

चरण 2.3.3.2

कोष्ठक हटा दें.

$y = - \frac{9}{68} x + \frac{26}{17}$

चरण 3