कैलकुलस उदाहरण

$y = x^{3} - 16 x + 5$ , $(4, 5)$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = 4$ और $y = 5$ पर मूल्यांकन करें.

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चरण 1.1

अवकलन करें.

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चरण 1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3} - 16 x + 5$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [5]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [5]$

चरण 1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [5]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [- 16 x]$ का मान ज्ञात करें.

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चरण 1.2.1

चूंकि $- 16$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 16 x$ का व्युत्पन्न $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$3 x^{2} - 16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

चरण 1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 x^{2} - 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

चरण 1.2.3

$- 16$ को $1$ से गुणा करें.

$3 x^{2} - 16 + \frac{d}{d x} [5]$

चरण 1.3

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

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चरण 1.3.1

चूंकि $x$ के संबंध में $5$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $5$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 x^{2} - 16 + 0$

चरण 1.3.2

$3 x^{2} - 16$ और $0$ जोड़ें.

$3 x^{2} - 16$

चरण 1.4

$x = 4$ पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

$3 {(4)}^{2} - 16$

चरण 1.5

सरल करें.

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चरण 1.5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

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चरण 1.5.1.1

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$3 \cdot 16 - 16$

चरण 1.5.1.2

$3$ को $16$ से गुणा करें.

$48 - 16$

चरण 1.5.2

$48$ में से $16$ घटाएं.

$32$

चरण 2

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

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चरण 2.1

ढलान $32$ और दिए गए बिंदु $(4, 5)$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (5) = 32 \cdot (x - (4))$

चरण 2.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y - 5 = 32 \cdot (x - 4)$

चरण 2.3

$y$ के लिए हल करें.

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चरण 2.3.1

$32 \cdot (x - 4)$ को सरल करें.

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चरण 2.3.1.1

फिर से लिखें.

$y - 5 = 0 + 0 + 32 \cdot (x - 4)$

चरण 2.3.1.2

शून्य जोड़कर सरल करें.

$y - 5 = 32 \cdot (x - 4)$

चरण 2.3.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y - 5 = 32 x + 32 \cdot - 4$

चरण 2.3.1.4

$32$ को $- 4$ से गुणा करें.

$y - 5 = 32 x - 128$

चरण 2.3.2

$y$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

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चरण 2.3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $5$ जोड़ें.

$y = 32 x - 128 + 5$

चरण 2.3.2.2

$- 128$ और $5$ जोड़ें.

$y = 32 x - 123$

चरण 3