कैलकुलस उदाहरण

$x e^{y} + y e^{x} = 1$ , $(0, 1)$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = 0$ और $y = 1$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (x e^{y} + y e^{x}) = \frac{d}{d x} (1)$

चरण 1.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x e^{y} + y e^{x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$ है.

$\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

चरण 1.2.2

$\frac{d}{d x} [x e^{y}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = e^{y}$ है.

$x \frac{d}{d x} [e^{y}] + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

चरण 1.2.2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

चरण 1.2.2.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

चरण 1.2.2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$x (e^{y} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

चरण 1.2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$x (e^{y} y') + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

चरण 1.2.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$x (e^{y} y') + e^{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

चरण 1.2.2.5

$e^{y}$ को $1$ से गुणा करें.

$x e^{y} y' + e^{y} + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

चरण 1.2.3

$\frac{d}{d x} [y e^{x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = y$ और $g (x) = e^{x}$ है.

$x e^{y} y' + e^{y} + y \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [y]$

चरण 1.2.3.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$x e^{y} y' + e^{y} + y e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [y]$

चरण 1.2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$x e^{y} y' + e^{y} + y e^{x} + e^{x} y'$

चरण 1.2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$e^{y} x y' + e^{x} y + e^{x} y' + e^{y}$

चरण 1.2.4.2

गुणनखंडों को $e^{y} x y' + e^{x} y + e^{x} y' + e^{y}$ में पुन: क्रमित करें.

$x e^{y} y' + y e^{x} + e^{x} y' + e^{y}$

चरण 1.3

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0$

चरण 1.4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$x e^{y} y' + y e^{x} + e^{x} y' + e^{y} = 0$

चरण 1.5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

गुणनखंडों को $x e^{y} y' + y e^{x} + e^{x} y' + e^{y}$ में पुन: क्रमित करें.

$x y' e^{y} + y e^{x} + y' e^{x} + e^{y} = 0$

चरण 1.5.2

$y'$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $y e^{x}$ घटाएं.

$x y' e^{y} + y' e^{x} + e^{y} = - y e^{x}$

चरण 1.5.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $e^{y}$ घटाएं.

$x y' e^{y} + y' e^{x} = - y e^{x} - e^{y}$

चरण 1.5.3

$x y' e^{y} + y' e^{x}$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.1

$x y' e^{y}$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (x e^{y}) + y' (e^{x}) = - y e^{x} - e^{y}$

चरण 1.5.3.2

$y' e^{x}$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (x e^{y}) + y' (e^{x}) = - y e^{x} - e^{y}$

चरण 1.5.3.3

$y' (x e^{y}) + y' (e^{x})$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (x e^{y} + e^{x}) = - y e^{x} - e^{y}$

चरण 1.5.4

$y' (x e^{y} + e^{x}) = - y e^{x} - e^{y}$ के प्रत्येक पद को $x e^{y} + e^{x}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.1

$y' (x e^{y} + e^{x}) = - y e^{x} - e^{y}$ के प्रत्येक पद को $x e^{y} + e^{x}$ से विभाजित करें.

$\frac{y' (x e^{y} + e^{x})}{x e^{y} + e^{x}} = \frac{- y e^{x}}{x e^{y} + e^{x}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

चरण 1.5.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.2.1

$x e^{y} + e^{x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' (x e^{y} + e^{x})}{x e^{y} + e^{x}} = \frac{- y e^{x}}{x e^{y} + e^{x}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

चरण 1.5.4.2.1.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{- y e^{x}}{x e^{y} + e^{x}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

चरण 1.5.4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.3.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y' = \frac{- y e^{x} - e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

चरण 1.5.4.3.2

$- y e^{x}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{- (y e^{x}) - e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

चरण 1.5.4.3.3

$- e^{y}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{- (y e^{x}) - (e^{y})}{x e^{y} + e^{x}}$

चरण 1.5.4.3.4

$- (y e^{x}) - (e^{y})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{- (y e^{x} + e^{y})}{x e^{y} + e^{x}}$

चरण 1.5.4.3.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.3.5.1

$- (y e^{x} + e^{y})$ को $- 1 (y e^{x} + e^{y})$ के रूप में फिर से लिखें.

$y' = \frac{- 1 (y e^{x} + e^{y})}{x e^{y} + e^{x}}$

चरण 1.5.4.3.5.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = - \frac{y e^{x} + e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

चरण 1.6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y e^{x} + e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

चरण 1.7

$x = 0$ और $y = 1$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$- \frac{y e^{0} + e^{y}}{(0) \cdot e^{y} + e^{0}}$

चरण 1.7.2

व्यंजक में चर $y$ को $1$ से बदलें.

$- \frac{(1) \cdot e^{0} + e^{1}}{(0) \cdot e^{1} + e^{0}}$

चरण 1.7.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.3.1

$e^{0}$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{e^{0} + e^{1}}{0 \cdot e^{1} + e^{0}}$

चरण 1.7.3.2

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$- \frac{1 + e^{1}}{0 \cdot e^{1} + e^{0}}$

चरण 1.7.3.3

सरल करें.

$- \frac{1 + e}{0 \cdot e^{1} + e^{0}}$

चरण 1.7.4

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.4.1

सरल करें.

$- \frac{1 + e}{0 \cdot e + e^{0}}$

चरण 1.7.4.2

$0$ को $e$ से गुणा करें.

$- \frac{1 + e}{0 + e^{0}}$

चरण 1.7.4.3

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$- \frac{1 + e}{0 + 1}$

चरण 1.7.4.4

$0$ और $1$ जोड़ें.

$- \frac{1 + e}{1}$

चरण 1.7.5

से गुणा करके सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.5.1

$1 + e$ को $1$ से विभाजित करें.

$- (1 + e)$

चरण 1.7.5.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- 1 \cdot 1 - e$

चरण 1.7.5.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- 1 - e$

चरण 2

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

ढलान $- 1 - e$ और दिए गए बिंदु $(0, 1)$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (1) = (- 1 - e) \cdot (x - (0))$

चरण 2.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y - 1 = (- 1 - e) \cdot (x + 0)$

चरण 2.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$(- 1 - e) \cdot (x + 0)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

$x$ और $0$ जोड़ें.

$y - 1 = (- 1 - e) \cdot x$

चरण 2.3.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y - 1 = - 1 x - e x$

चरण 2.3.1.3

$- 1 x$ को $- x$ के रूप में फिर से लिखें.

$y - 1 = - x - e x$

चरण 2.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$y = - x - e x + 1$

चरण 2.3.3

$y = m x + b$ रूप में लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$e$ ले जाएं.

$y = - x - 1 x e + 1$

चरण 2.3.3.2

$- 1 x$ को $- x$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = - x - x e + 1$

चरण 2.3.3.3

$- x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$y = x \cdot - 1 - x e + 1$

चरण 2.3.3.4

$- x e$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$y = x \cdot - 1 + x (- e) + 1$

चरण 2.3.3.5

$x \cdot - 1 + x (- e)$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$y = x \cdot (- 1 - e) + 1$

चरण 2.3.3.6

$- 1 - e$ को $x$ से गुणा करें.

$y = (- 1 - e) x + 1$

चरण 3